Статистическое Оценивание

Один из основных разделов математич. статистики, посвященный оцениванию по случайным наблюдениям тех или иных характеристик их распределения. Пример 1. Пусть X1,. . ., Х n — независимые случайные величины (наблюдения) с общим распределением на прямой, неизвестным наблюдателю. Эмпирическое (выборочное) распределение приписывающее нагрузку каждой случайной точке X1, является оценкой для Эмпирич. моменты служат оценками для моментов В частности, — оценка средней, — оценка дисперсии. Основные понятия. В общей теории оценивания наблюдение Xесть случайный элемент со значениями в измеримом пространстве неизвестное распределение к-рого принадлежит заданному семейству распределений Р. Семейство распределений всегда можно параметризовать и записать в виде Здесь форма зависимости от параметра и множество предполагаются известными. Задача оценивания по наблюдению X неизвестного параметра или значения функции gв точке заключается в том, чтобы построить функцию от наблюдений, достаточно хорошо аппроксимирующую Сравнение оценок производится следующим образом. Пусть на множестве задана неотрицательная функция потерь w(y1; y2), смысл к-рой состоит в том, что употребление оценки при фактическом значении параметра приводит к потерям Средние потери, функцию риска принимают за меру качества статистики как оценки при функции потерь w. Тем самым на множество оценок вводится отношение частичного упорядочения: оценка Т 1 предпочтительнее оценки T2, если В частности, оценка Тпараметра наз. недопустимой (по oтношению к функции потерь w), если найдется оценка T' такая, что для всех причем для какого-нибудь имеет место знак строгого неравенства. При таком способе сравнения качества оценивания многие оценки оказываются несравнимыми, кроме того, выбор функции потерь в значительной степени произволен. Иногда удается найти оценки, оптимальные внутри нек-рого более узкого класса оценок. Важный класс образуют несмещенные оценки. Если исходный эксперимент инвариантен относительно нек-рой группы преобразований, естественно ограничиться оценками, не нарушающими симметрию задачи (см. Эквивариантная оценка). Оценки можно сравнивать по их поведению в лхудших