Стационарной Фазы Метод

Метод вычисления асимптотики интегралов от быстро осциллирующих функций: где — большой параметр, — ограниченная область, функция S(x) (фаза) действительная, функция f(х) комплексная, и Если т. е. f финитна, и фаза S(x)не имеет стационарных точек (т. е. точек, в к-рых S' (х) = 0) на носителе supp f, то Поэтому основной вклад в асимптотику интеграла (*) при вносят точки стационарной фазы и граница Вкладом от изолированной стационарной точки x0 н от границы наз. соответственно интегралы где вблизи точки x0 и не содержит других стационарных точек, и в нек-рой окрестности границы. При п=1, имеем: если если x0 — внутренняя точка отрезка и Полностью исследован случай, когда п=1, фаза Sимеет конечное число стационарных точек, все они конечной кратности, и функция f имеет нули конечной кратности в этих точках и на концах отрезка Получены асимптотич. разложения. Исследован случай, когда функции f, . имеют степенные особенности: напр., где f1, S1 — гладкие при x=0 функции, Пусть — невырожденная стационарная точка (т. е. Тогда вклад от точки x0 равен где — сигнатура матрицы S" (x0). Имеется также асимптотич. ряд для (формулы для вклада в случае гладкой границы см. [5]). Если — стационарная точка конечной кратности, то (см. [6]) где rk — рациональные числа, Исследованы вырожденные стационарные точки (см. [3], [4]). Исследован случаи, когда фаза зависит от действительного параметра и при малых имеет две близкие невырожденные стационарные точки. В этом случае асимптотика интеграла выражается через функции Эйри (см. [5]). Имеется операторный вариант С. ф. м.: где А- инфинитезимальный оператор сильно непрерывной группы ограниченных на оси операторов, действующих в банаховом пространстве В, и f(x),S (х) — гладкие функции со значениями в В[9]. Если функции аналитические, то С. ф. м. есть частный случай перевала, метода. Лит.:[1] Тhоmsоn W., лPhilos. Mag.