Спектральный Анализ

Исследование спектральных характеристик линейных операторов: геометрии спектра и его основных частей, спектральной кратности, асимптотики собственных значений и т. д. Для операторов, действующих в конечномерных пространствах, задача определения спектра эквивалентна задаче локализации корней характеристич. уравнения в бесконечномерных пространствах дело обстоит значительно сложнее, хотя аппарат определителей строится и успешно используется в С. а. нек-рых бесконечномерных операторов. В ряде случаев С. а. оператора основывается на явной конструкции функционального исчисления (операторы умножения в функциональных пространствах, другие модельные операторы, а также операторы, подобные их сужениям или факторам). Широко применяются в С. а. различные теоремы об отображении спектра для функций одного или нескольких операторов — от простейших (спектр многочлена от оператора состоит из значений этого многочлена на спектре оператора, спектр суммы двух коммутирующих операторов содержится в алгебраич. сумме их спектров) до весьма тонких, описывающих спектры функций от некоммутирующих операторов, функций от оператора, имеющих разрывы в граничных точках его спектра, совместные спектры образов многозначных отображений, отображения аппроксимативных, точечных и дефектных спектров и т. д. Полезную информацию о спектре оператора можно извлечь из его топологич. характеристик (напр., спектр непрерывного оператора компактен, а спектр компактного — не более чем счетен, причем его ненулевые точки — изолированные собственные значения), поведения относительно выделенного в пространстве конуса (ведущие собственные значения у положительного оператора) или скалярного произведения (спектр самосопряженного оператора веществен, эрмитово положительного — неотрицателен, диссипативного — лежит в верхней полуплоскости, унитарного — на единичной окружности). Если скалярное произведение не является знакоопределен-ным, но его индекс индефинитности конечен, то спектр сохраняющего его оператора (такие операторы наз. J-унитарными) может иметь не более точек вне единичной окружности; для J-самосопряженных и J-диссипативных операторов положение аналогично (см. [5]). Спектральные характеристики могут обладать определенными свойствами устойчивости (непрерывности); эти свойства являются объектом теории возмущений спектра (раздел общей теории возмущений). Так, спектр является полунепрерывной сверху функцией оператора: любая окрестность спектра ограниченного оператора содержит спектры всех достаточно близких кнему операторов (случай неограниченных операторов требует небольшой модификации). Это позволяет проследить за изменением изолированных точек спектра при малых возмущениях и аналитически (в виде ряда по степеням параметра выразить собственные значения оператора лежащие в окрестности изолированного конечнократного собственного значения оператора А . В нек-рых случаях удается также оценить изменение числа собственных значений оператора в заданной области под действием возмущения, к-рое не предполагается малым по норме, но имеет фиксированный (конечный) ранг. В том же круге идей лежит теорема Вейля (Н. Weyl, 1909) об инвариантности спектра сгущения (дополнение в спектре к множеству изолированных собственных значений конечной кратности) самосопряженного оператора при компактных возмущениях. Фактически им показано, что спектр сгущения самосопряженного оператора Асовпадает с его существенным спектром а равенство справедливо для любого замкнутого Аи компактного К. Из теоремы Вейля следует, что все самосопряженные расширения симметрического оператора с конечными (и равными) дефектными числами имеют одинаковые существенные спектры. Теорема Вейля переносится на случай относительно компактных возмущений (оператор Кназ. компактным относительно А, если он переводит всякое ограниченное множество с ограниченным А- образом в компактное), откуда следует совпадение существенных спектров всех самосопряженных расширений симметричных многомерных дифференциальных операторов широкого класса. Теорема Вейля допускает обращение (Дж. Нейман, J. Neumann, 1935): если два самосопряженных оператора имеют одинаковые существенные спектры, то один из них унитарно эквивалентен возмущению другого компактным (даже принадлежащим классу Гильберта — Шмидта) оператором, имеющим произвольно малую норму. Найдены обобщения этого результата на случай нормальных, существенно нормальных операторов, а также на представления некоммутативных С*-алгебр. Теорема Вейля — Неймана показывает, что существенный спектр — единственная спектральная характеристика самосопряженного оператора, устойчивая относительно компактных возмущений, и что непрерывный и точечный спектры крайне неустойчивы. В то же время абсолютно непрерывный спектр (спектр сужения Ана подпространство Н ас (А)всех векторов для к-рых функция абсолютно непрерывна) также обладает нек-рой устойчивостью: он не меняется при ядерных возмущениях. Это один из основных результатов теории волновых операторов, тесно связанный с квантовомеханич. теорией рассеяния (см. [2]). Волновой оператор W(А, В)для пары самосопряженных операторов А, В — это изометрическое линейное отображение определенное на замкнутом подпространстве всех векторов для к-рых предел существует. Соотношения W(A, В) A=BW(A, В )и показывают, что W(A,B )осуществляет унитарную эквивалентность операторов А, В, если Условие ядерности оператора В-А влечет включения а следовательно, — унитарную эквивалентность абсолютно непрерывных частей операторов Аи В, обеспечивающую тождественность спектральных характеристик. Существует иной подход к задаче доказательства унитарной эквивалентности (в случае несамосопряженных операторов — подобия) возмущенного оператора невозмущенному. При этом подходе записывают условия подобия операторов Аи А+К в виде линейного операторного уравнения AV-VA=VK;ищут линейный оператор Г, обратный слева к оператору умножения т. е. AT(X)- Т (Х) А=Х, дляк-ротооператор является сжатием в пространстве операторов. Если такой оператор Г найти удается, то в качестве Vможно взять оператор (I+Г К)-1I, проверив предварительно его обратимость. Этим методом удается исследовать широкий класс нормальных операторов с дискретным и непрерывным спектром, квазинильпотентных операторов, операторов взвешенного сдвига и, что особенно важно для приложений, многомерных интегро-дифференциальных операторов. С. а. операторов, порожденных аналитич. (дифференциальными, интегральными, разностными и т. д.) операциями в функциональных пространствах, предполагает описание спектра операторов в терминах параметров (коэффициентов) соответствующей операции; широкая применимость теории возмущений в таких задачах объясняется тем, что выделить главную часть и возмущение часто удается в тех же терминах (перераспределяя коэффициенты). Напр., пусть Aq(G)(G — область в q — вещественный потенциал, т. е. числовая функция на G)- оператор Шрёдингёра, определяемый в L2(G)дифференциальной операцией и наиболее жесткими граничными условиями (минимальный оператор). В этом случае Aq(G)симметричен. Естественно считать (точнее, A0(G))невозмущенным оператором, а умножение на q — возмущением; такое представление дает полезные следствия, когда потенциал в каком-то смысле мал. Так, если при то теорема Вейля обеспечивает совпадение существенных спектров операторов Aq и A0 (совпадающих с существенным спектром их самосопряженных расширений); если область G лдостаточно велика