Спектральная Теория

Дифференциальных операторов — раздел общей спектральной теории операторов, к-рый изучает спектральные свойства дифференциальных операторов в различных пространствах функций, особенно в гильбертовых пространствах измеримых функций. Пусть — область в — ее граница, — линейный дифференциальный оператор (д. о.), и — краевые условия, заданные линейными д. о. lj. Здесь — неотрицательные целые числа, а функции и определены в и Г соответственно. В дальнейшем везде, где нет особых оговорок, предполагается, что и -достаточно гладкие функции при n>1 и при всех если n = 1 и Самосопряженные расширения д. о. Пусть L'0 — д. о., к-рый задается выражением (1) на функциях из т. е. имеющих производные любого порядка и обращающихся в нуль вне компакта, лежащего внутри Если для любой пары функций и(х)и v(х)из то L'0 наз. симметрическим д. о., а l — формально самосопряженным д. о. Пусть L0- замыкание д. о. L'0 в Тогда д. о. L0 и сопряженный к нему L0 соответственно наз. минимальным и максимальным операторами, порожденными l(x, D); L*0 — расширение д. о. L0. Важной задачей теории д. о. является описание L0 и L*0. а также всех самосопряженных расширений д. о. L0. Здесь можно применять абстрактную теорию расширений симметрич. операторов. Однако для д. о. самосопряженные расширения часто удается описать в терминах граничных условий. Пусть — дефектные подпространства оператора L0. Если dim то L0=L*0, и д. о. L*0 наз. существенно самосопряженным. Любые из следующих условий достаточны для существенной самосопряженности д. о. L'0 в Формально самосопряженный д. о. l(x, D )имеет вид с действительными коэффициентами, и L'0 ограничен снизу; имеет вид (5), является эллиптическим, aik- постоянные, монотонно не убывает и интеграл имеет постоянные и действительные коэффициенты; имеет ограниченные коэффициенты, а главный член — эллиптич. типа с действительными и постоянными коэффициентами. Пусть д. о. L0 имеет конечные индексы дефекта что является характерным для обыкновенных д. о. В этом случае числа совпадают с размерностями подпространств решений уравнений из L2(a, b). Поэтому и вычисление индексов дефекта д. о. связано с качественной теорией и асимптотич. методами обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть Если то д. о. L'0 не имеет ни одного самосопряженного расширения. Если n+ = n- = k, то для самосопряженности расширений д. о. L'0 надо задавать kграничных условий и они полностью описаны. Граничные условия принимают простой вид, когда выражение L'0 имеет два регулярных конца или имеет один регулярный конец, но т= =2k, Конец аназ. регулярны м, если и суммируемы на при любом Имеются примеры д. о. с частными производными в с разрывными коэффициентами и с конечными индексами дефекта, но их теория еще слабо развита. В терминах граничных условий описаны не все самосопряженные расширения симметрии, д. о. с частными производными в ограниченной области, но описаны разнообразные расширения с заданными свойствами. Пусть l — формально самосопряженный эллиптический д. о. четного порядка т =2k с действительными коэффициентами, — множество всех функций, имеющих производные любого порядка в ограниченной замкнутой области и удовлетворяющих краевым условиям типа Дирихле Тогда д. о., определенный выражением lс областью определения является симметрическим, а его замыкание Lm- самосопряженным. Имеются другие примеры конкретных самосопряженных краевых условий для д. о., из них наиболее полно изучены д. о. 2-го порядка с краевыми условиями типа Дирихле. Неймана и третьего рода. Спектральный анализ самосопряженного д. о. Всякий самосопряженный д. о. Lдопускает спектральное разложение вида где — разложение единицы (ортогональное семейство проекторов). Однако общая формула не дает непосредственного разложения по собственным функциям конкретных самосопряженных д. о., и поэтому важно уметь семейство выразить с помощью собственных функций. Если самосопряженный д. о. . имеет дискретный спектр с соответствующими ортонормированными собственными функциями то — интегральный оператор с (спектральным) ядром При наличии непрерывного спектра у д. о. вопрос становится сложным: для непрерывного спектра нет собственных функции из Однако имеют место следующие результаты. Пусть L — самосопряженный обыкновенный д. о. вида (1) в — фундаментальная система решений уравнения Тогда существует монотонная матричная функция (спектральная мера) такая, что разложение единицы д. о. Lзадается ядром Далее, для любой функции f(х)из интеграл сходится в пространстве вектор-функций порожденном мерой и обратно, интеграл сходится к f(х)в Если выражение (1) имеет один регулярный конец аи т =2k, а индексы дефекта то функции выбираются так, чтобы они образовали фундаментальную систему в классе решений уравнения удовлетворяющих краевым условиям в а, и в этом случае порядок спектральной меры будет равен k. Пусть L — самосопряженный эллиптич. д. о. в Тогда его разложение единицы Е — интегральный оператор с ядром и существует неубывающая функция такая, что для любых чисел и имеет место при этом при каждом существует конечная или бесконечная система решений уравнения и Для оператора Шрёдингера при условии ядро явно выражается через решения задачи теории рассеяния. Для произвольных самосопряженных д. о. с частными производными также справедливы формулы (10), (11), в этом случае могут быть обобщенными функциями, но конечного порядка. Характер сходимости разложения по собственным функциям д. о. и асимптотич. свойства спектрального ядра помогают в обосновании метода Фурье при решении уравнении математич. физики. Для обыкновенных д. о. имеет место следующий окончательный результат — теорема равносходимости: разложения заданной суммируемой функции по собственным функциям д. о., ограниченного снизу, и интеграл Фурье сходятся или расходятся в точке одновременно. Для д. о. с частными производными вопрос становится сложным. Качественная теория спектра д. о. занимается изучением природы спектра в зависимости от поведении коэффициентов, геометрии области и граничных условий. Имеется серия признаков дискретности спектра д. о. Наиболее общим является следующий критерий и его обобщения: если то для дискретности спектра д. о., порожденного выражением lи = — и n+q(x). в необходимо и достаточно, чтобы для любого j>0 Для д. о. с частными производными обобщение этого критерия принимает более сложный вид. Имеются другие, более простые признаки дискретности спектра д. о., напр, самосопряженный д. о., порожденный выражением (5), будет иметь дискретный спектр, если при самосопряженный д. о. Lm имеет дискретный спектр. Изучение природы спектра при наличии непрерывной части становится трудной задачей. Вот нек-рые результаты: 1) если обыкновенный д. о. определяется формально самосопряженным выражением (1) с периодич. коэффициентами на с общим периодом, то его спектр непрерывный и состоит из последовательности непересекающихся интервалов, концы к-рых стремятся к или 2) если д. о. определяется выражением и lim q(x)=0, непрерывный спектр его заполняет а отрицательный спектр дискретный и может иметь предельную точку в нуле. Если k=1, и то отрицательный спектр будет конечным (на непрерывном спектре нет собственных значений). Природа спектра зависит также от граничных условий. В ограниченной области описаны конкретные граничные условия, при выполнении к-рых самосопряженный д. о. Лапласа имеет непрерывную часть спектра. Это — результат бесконечности индексов дефекта минимального д. о. Лапласа в области сграницей. Функции от самосопряженного д. о. изучаются с целью решения смешанных задач для дифференциальных уравнений, а также для внутренних задач теории д. о. Пусть L — эллиптич. д. о. порядка т. Хорошо изучена резольвента при и функции ехр (-Lt )и при t>0. Последние являются разрешающими операторами для обобщенного уравнения теплопроводности uf=-Lu, и (0, x)=f(x)и обобщенного волнового уравнения u(0,x)=f(x). Все три оператор-функции являются интегральными с ядрами (функции Грина) соответственно. Формула устанавливает связь между Rи К. Нек-рые свойства если L — эллиптический самосопряженный д. о. порядка тв то при р>п/2топератору отвечает ядро типа Карлемана; при р>n/т оператор является ядерным и поэтому где — собственные значения д. о. L т. Имеются и другие признаки ядерности оператора в Аналитич. и асимптотич. свойства функций Грина дают полезную информацию о спектральных характеристиках д. о. L. Напр., если в (13) известно поведение при то применение тауберовых теорем позволяет найти асимптотику То же самое удается, если известна асимптотика S р ехр (-Lt )при Асимптотика и K(x, у, t )устанавливается, напр., методом параметрикс, методом потенциалов и т. д. Так, на этом пути удалось найти асимптотику для обширного класса эллиптич. д. о. Для определения асимптотики спектрального ядра эллиптич. д. о. оказалось эффективным изучение асимптотики ядра G( х, у, t )при с дальнейшим применением различных тауберовых теорем. В частности, при х=у, Несамосопряженные д. о. Наиболее полные результаты имеются для обыкновенных д. о. на конечном отрезке. Пусть д. о. Lопределяется выражением (1) при n=1, а т (х)=1на функциях, имеющих ( т-1) абсолютно непрерывные производные и удовлетворяющие краевым условиям: Здесь и числа av, bv одновременно не равны нулю. Пусть краевые условия (2) являются регулярными. Таковыми будут краевые условия типа Штурма — Лиувилля и периодич. типа Тогда д. о. Lимеет бесконечное число собственных значений, к-рые имеют точную асимптотику; система собственных и присоединенных функций д. о. Lполна в Lp(0,1); разложение функций f(x) из D(L)по собственным и присоединенным функциям д. о. . сходится равномерно на (0, 1). Факт полноты системы собственных и присоединенных функций имеет место также при нек-рых нерегулярных краевых условиях, в частности типа распадающихся однако сходимость разложения в ряд по собственным и присоединенным функциям справедлива только для узкого класса (l- аналитических) функций. Пусть L0- самосопряженный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве Н — имеет собственные значения и при нек-ром р>0 оператор является ядерным. Пусть L1- другой оператор такой, что является вполне непрерывным. Тогда система собственных и присоединенных векторов оператора L0+L1 полна в . (теорема Келдыша). Применение этой теоремы дает классы д. о., к-рые имеют полную систему собственных и присоединенных функций. Пусть Lm- д. о. в и тогда система собственных и присоединенных функций для д. о. Lm+L1 полна в Однако разложение функции в ряд по этой системе, вообще говоря, расходится и суммируется со скобками по обобщенному методу Абеля. Если область неограничена, то для выполнения условий теоремы Келдыша надо налагать дополнительные условия на рост коэффициентных функций д. о. Мало изучены несамосопряженные д. о. с непрерывной частью спектра. Это связано с тем, что для них нет аналога теоремы о спектральном разложении. Исключение составляет д. o., порожденный выражением при или с комплекснозначной функцией q(x). Пусть является решением уравнения при и удовлетворяет начальным условиям Пусть f1(x) и f2 (х) — финитные функции из и Тоща существует линейный функционал . на линейном топологич. пространстве Gтакой, что Пространство G- множество всех целых четных функций первого порядка роста конечного типа, суммируемых на действительной оси. Если то Rявно вычисляется. В этом случае на непрерывном спектре появляются спектральные особенности — полюсы ядра резольвенты, к-рые не являются собственными значениями д. о. Спектральные особенности присущи несамосопряженным операторам и из-за них вопросы разложения (и его сходимость) по собственным функциям принимают более сложный характер. Для д. о. в в предположении, что комплексная функция q(x)убывает экспоненциально, также найден вид спектрального разложения через решение задачи теории рассеяния с учетом влияния спектральных особенностей. В обратных задачах спектрального анализа требуется определение д. о. по нек-рым спектральным характеристикам. Полностью решены задачи определения одномерных дифференциальных уравнении Шрёдингера и систем типа Дирака по спектрам различных расширений, по спектральной мере, по данным рассеяния, т. е. по асимптотич. поведению нормированных собственных функций, и т. д. Обратные задачи нашли приложение в интегрировании нелинейных уравнений. С. т. дифференциальных операторов возникла в связи с исследованиями колебания струны и вызвала к жизни теорию ортогональных разложений (18-19 вв.). Систематич. изучение самосопряженного д. о. 2-го порядка на конечном отрезке начинается с 1830 (Штурма — Лиувилля задача) и в 19 в. было предметом многих исследований, в частности в связи с теорией специальных функций. Однако замкнутость системы собственных функций д. о. Штурма — Лиувилля была доказана только в 1896, тогда же изучен и характер сходимости разложения по собственным функциям. Теория сингулярных д. о. берет свое начало в 1909- 1910, когда было найдено спектральное разложение самосопряженного неограниченного д. о. 2-го порядка с произвольной структурой спектра и, по существу, введено понятие индекса дефекта и получены первые результаты по теории расширений. Интерес к сингулярным д. о. возрос с 1920 с возникновением квантовой механики. Систематич. исследование несамосопряженных сингулярных д. о. началось с 1950, когда были заложены основы теории операторных пучков и указан метод доказательства полноты системы собственных и присоединенных функций для д. о. Лит.: [1] Березанский Ю. М., Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов, К., 1965; [2] Глазман И. М., Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов, М., 1963; [3] Данфорд Н., Шварц Д ж. — Т., Линейные операторы, пер. с англ., ч. 2, М., 1966; [4] Като Т., Теория возмущений линейных операторов, пер. с англ., М., 1972; [5] Левитан Б. М., Саргсян И. С., Введение в спектральную теорию, М., 1970; [6] Марченко В. А., операторов Штурма — Лиувилля, К., 1972; [7] Наймарк М. А., Линейные дифференциальные операторы, 2 изд., М., 1969; [8] Титчмарш Э. Ч., Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, пер. с англ., ч. 1-2, М., 1960-61; [9] Фаддеев Л. Д., лТр. Матем. ин-та АН СССР