Спектр Кольца

Окольцованное топология, пространство Spec А, точками к-рого являются простые идеалы кольца Ас Зариского топологией на нем (к-рая наз. также спектральной топологией). При атом предполагается, что кольцо Акоммутативно и с единицей. Элементы кольца А можно рассматривать как функции на пространстве Spec A, полагая Пространство Spec Aнесет пучок локальных колец (Spec А), называемый структурным пучком. Для точки слой пучка над — это локализация кольца Аотносительно Любому гомоморфизму колец , переводящему единицу в единицу, отвечает непрерывное отображение Если N — нильрадикал кольца А, то естественное отображение является гомеоморфизмом топологич. пространств. Для ненильпотентного ялемента пусть где Тогда окольцованные пространства D(f) и Spec A(f) , где А (f) — локализация Аотносительно f, изоморфны. Множества D(f) наз. главными открытыми множествами. Они образуют базис топологич. пространства Spec A. Точка замкнута тогда и только тогда, когда — максимальный идеал кольца А. Сопоставляя точке ее замыкание в Spec A, получают взаимно однозначное соответствие между точками пространства Spec Аи множеством замкнутых неприводимых подмножеств в Spec A. Пространство Spec Aквазикомпактно, но, как правило, не является хаусдорфовым. Размерностью пространства Spec Aназ. наибольшее п, для к-рого существует цепояка различных замкнутых неприводимых множеств Многие свойства кольца Аможно охарактеризовать в терминах топологич. пространства Spec A. Напр., кольцо Анётерово тогда и только тогда, когда Spec A — нётерово пространство; пространство Spec Анеприводимо тогда и только тогда, когда кольцо A/N является областью целостности; размерность Spec Асовпадает с размерностью Крулля кольца Аи т. д. Иногда рассматривают максимальный спектр Specm A — подпространство пространства Spec А, состоящее из замкнутых точек. Для градуированного кольца Арассматривают также проективный спектр Proj A. Если то точки Proj A- это простые однородные идеалы кольца Атакие, что Лит.:[1] Бурбакн Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971; [2] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972. Л. В. Кузьмин.