Спектр
Оператора- совокупность чисел для к-рых оператор не имеет всюду определенного ограниченного обратного. Здесь А — линейный оператор в комплексном банаховом пространстве Х, I- тождественный оператор в X. Если Ане замкнут в X, то поэтому обычно рассматривают С. замкнутых операторов (для операторов, допускающих замыкание, иногда их С. наз. спектр замыкания). Если не инъективен или не сюръективен, то В первом случае наз. собственным значением оператора А; совокупность собственных значений наз. точечным спектром. Во втором случае наз. точкой непрерывного спектра или остаточного спектра в зависимости от того, плотно или не плотно в Xподпространство Существуют и другие классификации точек С., напр. где состоит из aппpoкcимативных собственных значений если существуют При атом и, значит, В теории возмущений рассматривается предельный спектр состоящий из предельных точек и изолированных собственных значений бесконечной кратности, вейлевский спектр, равный пересечению С. всех компактных возмущений, и др. Если оператор Аограничен, то компактен и не пуст (в этом случае совпадает со спектром элемента Абанаховой алгебры В(X)); в общем случае можно утверждать лишь, что замкнут в На множестве определена аналитическая В(Х)-значная функция наз. резольвентой наз. резольвентным множеством). С помощью резольвенты строится функциональное исчисление от оператора Ана функциях, аналитических в окрестности где Г — контур, охватывающий (неограниченность Анакладывает на выбор Г нек-рые ограничения); дополнительные условия на геометрию С. и асимптотику резольвенты позволяют расширить это функциональное исчисление. С. функций от оператора определяются формулой (теорема об отображении спектра); s (A*) сопряженного оператора совпадает с если Аограничен, а в общем случае Если и X раскладывается в прямую сумму инвариантных относительно . подпространств, в каждом из к-рых Аиндуцирует оператор с одноточечным С.; поисками бесконечномерных аналогов такого разложения занимается спектральная теория операторов. См. также альный анализ, альный синтез, альный оператор, альное разложение. Лит.:[1] Данфорд H., Шварц Дж., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., т. 1, М., 1962; [2] КатоТ., Теория возмущений линейных операторов, пер. с англ., М., 1972. В. С. Шулъман.