Состоятельный Критерий

Статистический критерий, достоверно отличающий проверяемую гипотезу от альтернативы при неограниченном увеличении числа наблюдений. Пусть X1, Х 2, . . ., Х n — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих значения в выборочном пространстве и пусть проверяется гипотеза против альтернативы при этом ошибка 1-го рода (см. Значимости уровень )задана заранее и равна Далее, пусть по первым пнаблюдениям X1, Х 2, . . ., Х n построен статистич. критерий уровня для проверки Н 0 против Н 1 и пусть — его мощности критерия функция, покалывающая при каждом с какой вероятностью этот критерий отклоняет Н 0, если случайная величина Xi подчиняется закону при этом при всех Неограниченно увеличивая число наблюдений, можно построить последовательность статистич. критериев заданного уровня предназначенных для проверки гипотезы Н 0 против альтернативы H1, при этом соответствующая им последовательность функций мощности будет удовлетворять условию для любого n при всех Eсли в этих условиях последовательность функций мощности такова, что для любого фиксированного то говорят, что построена состоятельная последовательность статистич. критериев уровня для проверки гипотезы H0 против альтернативы H1. Часто, допуская при этом определенную вольность, говорят, что построен С. к. Так как функция являющаяся сужением функции мощности на множество есть мощность статистич. критерия, построенного по наблюдениям X1, Х 2, . . ., Х n, то в терминах мощности свойство состоятельности последовательности статистич. критериев выражается в том, что соответствующие им мощности сходятся на к функции, тождественно равной 1 на Пример. Пусть X1, Х 2, . . ., Х n — независимые одинаково распределенные случайные величины, функция распределения к-рых принадлежит семейству всех непрерывных функций распределения на и пусть р=(p1, р 2,. . ., pk) — вектор положительных вероятностей такой, что p1+р 2+. . .+pk=1. Далее, пусть F0(x) — произвольная функция распределения из семейства H. Функция распределения F0(x) и вектор роднозначно определяют разбиение числовой оси на . полуинтервалов (х 0; x1], (х 1; x2],. . ., ( х k-1; xk], где Иначе говоря, границы полуинтервалов суть квантили функции распределения F0(x). С помощью полуинтервалов (х 0; x1], (х 1; x2],. . ., ( х k-1; xk] семейство H можно разбить на два непересекающихся множества Н 0 и H1 по следующему правилу: функция распределения Fиз H принадлежит Н 0 тогда и только тогда, если в противном случае Пусть, далее, vn=(vnl, vn2,..., vnk) — вектор частот, получающийся в результате группировки первых пслучайных величин Х 1, Х 2,. . ., Х n (n>k) по полуинтервалам (х 0; x1], (х 1; x2],. . ., ( х k-1; xk), этих условиях для проверки гипотезы Н 0, согласно к-рой функция распределения случайных величин X1, Х 2,. . ., Xn принадлежит множеству Н 0, против альтернативы H1, по к-рой функция распределения случайных величин Х 1, Х 2,. . ., Х n принадлежит множеству H1, можно воспользоваться критерием лхи-квадрат