Сопряженный Функтор

Понятие, выражающее универсальность и естественность многих важных математич. конструкций: свободных универсальных алгебр, различных пополнений, прямых и обратных пределов и т. д. Пусть — одноместный ковариантный функтор из категории в категорию Функтор Fиндуцирует функтор где — категория, двойственная категории — категория множеств, — основной теоретико-множественный функтор. Функтор HF контравариантен по первому аргументу и ковариантен по второму. Аналогично, любой ковариантный функтор индуцирует функтор также контравариантный по первому аргументу и ковариантный по второму. Функторы Fи Gсопряжены, или образуют сопряженную пару, если функторы Н F и Н G изоморфны, т. е. существует естественное преобразование к-рое устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами морфизмов и для любых объектов и Преобразование наз. сопряжением F с G; функтор Fназ. левым сопряженным к функтору G, a G — правым сопряженным к F (что обозначается или просто Преобразование наз. косопряжением. Пусть Для любых объектов и пусть Семейства морфизмов и определяют естественные преобразования и к-рые наз. соответственно единицей и коединицей сопряжения Для преобразований и справедливы следующие равенства: Вообще, пара естественных преобразований и состоит из единицы и коединицы нек-рого сопряжения, когда выполнены равенства для любых объектов Х и Y. Естественное преобразование является единицей нек-рого сопряжения тогда и только тогда, когда для любого морфизма из категории существует такой единственный морфизм в категории что Последнее свойство выражает тот факт, что объект F(X)свободен над Xотносительно функтора G в смысле следующего определения. Объект вместе с морфизмом свободен над объектом если всякий морфизм однозначно представим п виде для нек-рого морфизма Функтор тогда и только тогда обладает левым С. ф., когда для каждого существует объект Y, свободный над Xотносительно G. Примеры С. ф. 1) Если где — категория множеств, то G обладает левым С. ф. тогда и только тогда, когда он представим. Представимый функтор обладает левым С. ф. тогда и только тогда, когда в имеются любые копроизведения где и А x=А для всех 2) В категории множеств для любого множества Аосновной функтор HA(Y) = H(A, Y) сопряжен слева функтору 3) В категории абелевых групп функтор Hоm (A, Y )сопряжен слева функтору тензорного умножения на А, а функтор вложения полной подкатегории периодич. групп сопряжен справа функтору взятия нериодич. части произвольной абелевой группы. 4) Пусть — пренебрегающий функтор из произвольного многообразия универсальных алгебр в категорию множеств. Функтор Робладает левым С. ф. к-рый каждому множеству Xсопоставляет свободную алгебру многообразия с множеством Xсвободных образующих. 5) Функтор вложения произвольной рефлективной подкатегории категории сопряжен слева -рефлектору. В частности, функтор вложения категории абелевыx групп в категорию групп обладает левым С. ф., к-рый каждой группе Gсопоставляет ее факторгруппу по коммутанту. Свойства С. ф. Функтор, сопряженный слева к данному функтору, определен однозначно с точностью до изоморфизма функторов. Сопряженный слева функтор унивалентен тогда и только тогда, когда единица сопряжения состоит из мономорфизмов. Он перестановочен с копределами и переводит нулевые объекты и нулевые морфизмы в нулевые объекты и нулевые морфизмы соответственно. Пусть и — полные слева и локально малые слева категории. Функтор тогда и только тогда обладает сопряженным слева функтором когда выполнены следующие условия: а) функтор G перестановочен с пределами; б) для каждого хотя бы одно из множеств Н( Х, G(Y), непусто; в) для каждого существует такое множество что всякий морфизм представим в виде где Переход к двойственным категориям позволяет установить двойственность между понятиями лфунктор, сопряженный слева