СОЛИТОН

Структурно устойчивая уединённая волна в нелинейной диспергирующей среде. С. ведут себя подобно ч-цам: при вз-ствии между собой или с нек-рыми др. возмущениями С. не разрушаются, а расходятся вновь, сохраняя свою структуру неизменной. Структура С. поддерживается стационарной за счёт баланса между действием нелинейности среды (см. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ) и дисперсии (см. ДИСПЕРСИЯ ВОЛН). Напр., в случае гравитац. волн на поверхности жидкости для достаточно длинной плоской волны (l->2pH, где Н — глубина водоёма) дисперсия отсутствует, волны распространяются с фазовой скоростью v=?(g(H+h)), где g— ускорение свободного падения, h — возвышение поверхности воды в данной точке профиля волны. Вершина волны движется быстрее её подножия (нелинейность), поэтому крутизна фронта волны растёт до тех пор, пока протяжённость фронта не станет соизмеримой с величиной 2pН, после чего скорость v будет зависеть от крутизны фронта (дисперсия). В результате на профиле волны появляются осцилляции (рис. 1), развитие к-рых приводит к образованию С.

Рис. 1. Эволюция профиля волны на поверхности водоёма глубины Н.

С др. стороны, короткие волны (l<-2pH) малой амплитуды обладают сильной дисперсией, т. к. их фазовая скорость v=?(gl/2p). Поэтому достаточно коротковолновое нач. возвышение расплывается, образуя осциллирующий цуг (подобно волне от брошенного в воду камня). Волны же с таким соотношением между l и амплитудой колебаний hмакc, что «обострение» фронта из-за нелинейности в точности компенсируется расплыванием из-за дисперсии, остаются стационарными, т. е. не изменяют своего профиля при распространении. Такая компенсация возможна в среде без притока и потерь энергии только для определ. класса волн, периодических или уединённых, т. е. С., к-рые чаще всего описываются решениями нелинейных дифф. ур-ний в обыкновенных производных.

Рис. 2. Форма солитонов разл. высоты h на поверхности воды; v — скорость распространения; t — время; х — координата

Нестационарные же волновые процессы, связанные с С., описываются нелинейными дифф. ур-ниями в частных производных. Наиболее детально изучено применительно к С. уравнение Кортевега — де Фриса, описывающее волны в средах с достаточно малыми нелинейностью и дисперсией, в частности С. на поверхности воды. Семейство С. небольшой высоты (hмакс<-H) на поверхности воды (рис. 2) описывается выражением:

С ростом hмакс растёт скорость С. v=?(g(H+hмакс)) и уменьшается его длина (пропорц. 1/hмакс). Аналогичный вид имеют С. др. природы, напр. ионнозвуковые и магнитозвуковые С. в плазме, С. внутренних гравитац. волн, С. в слоистой жидкости и т. д.

Рис. 3. Солитон в системе связанных маятников (вид сбоку).

В др. случаях, напр. в цепочке маятников, связанных пружинами, также существует движение в виде С. (рис. 3), описываемое выражением:

к-рое явл. решением т. н. синус-Гордона ур-ния. Здесь j — угол поворота маятника, a и v0 — постоянные, определяемые параметрами системы, v — скорость С. Такой С. представляет собой последоват. поворот маятников на 2p, причём знак плюс отвечает повороту по часовой стрелке, а минус — в противоположном направлении («антисолитон»). Характерная длина такого С. (число маятников, не находящихся в равновесии) тем больше, чем больше его скорость v. С., описываемые выражением (2), существуют в распределённых сверхпроводящих структурах (джозефсоновские переходы) и др.

Для ур-ний Кортевега — де Фриса, синус-Гордона и ряда др. ур-ний найдены решения, описывающие вз-ствие произвольного числа С., параметры к-рых не изменяются в результате вз-ствий, а также формирование С. в результате эволюции произвольного нач. импульса (рис. 1).

Впервые С. наблюдался в 1834 шотл. учёным Дж. С. Расселом в форме возвышения, бегущего по поверхности воды в канале. Теоретич. описание его было дано в 1895 голл. учёными Д. Кортевегом и Г. де Фрисом. В дальнейшем С. наблюдались в плазме, линиях передачи с ПП диодами и др. С., сближаясь, влияют друг на друга, т. к. в нелинейной среде не выполняется принцип суперпозиции. Тем не менее после вз-ствия С. не разрушаются, а расходятся вновь (рис. 4), сохраняя те же параметры, что и до вз-ствия,— как если бы столкнулись и разлетелись ч-цы, отсюда назв. «С.» (появилось в 1965, по аналогии с протоном и нейтроном, от лат. solus — один, уединённый).

Рис. 4. Вз-ствие двух бегущих в одном направлении солитонов вида (1) с близкими амплитудами.

Оказалось, что С. могут сохранять свою структуру длит. время при наличии небольшого затухания или в результате плавного искривления фронта волны в пр-ве (в частности, цилиндрич. и сферич. С.). С., как и ч-цы, могут образовывать связанные состояния из двух или более импульсов (рис. 5). В системе из многих С. это приводит, в частности, к появлению сложных стохастич. движений («газ. С.»).

Рис. 5. Связанная пара солитонов.

В системах с сильной дисперсией, если профиль стационарной волны близок к синусоидальному, также возможно существование модулир. волн в виде локализованных волн. пакетов со стационарно движущейся огибающей, к-рые также обнаруживают «частицеподобное» поведение при вз-ствии (С. «огибающей»). Такие С. возможны для волн на поверхности глубокого водоёма, ленгмюровских волн в плазме, мощных коротких (пикосекундных) световых импульсов в рабочей среде лазера и т. д.

С. играют важную роль в теории конденсир. состояния в-ва, в частности в квант. статистике, теории фазовых переходов. Солитонные решения имеют нек-рые ур-ния, предложенные для описания элем. ч-ц. Изучение св-в С. как «частицеподобных» волн, в т. ч. и возможных трёхмерных С., в к-рых поле убывает по всем направлениям в трёхмерном пр-ве (а не только по одной координате, как в приведённых выше примерах), привело к попыткам использовать С. при построении квант. нелинейной теории поля.