Собственный Морфизм

Морфизм схем, отделимый, универсально замкнутый и имеющий конечный тип. Морфизм схем f : наз. замкнутым, если для любого замкнутого множество f(Z) замкнуто в Y, и универсально замкнутым, если для любой замены базы замкнут морфизм Свойство быть С. м. сохраняется при композиции морфизмов, замене базы и для декартова произведения морфизмов. С. м. близки к проективным морфизмам: любой проективный морфизм собственный, собственный и квазипроективный морфизм проективен. Любой С. м. доминируется проективным (лемма Чжоу). См. также Полное алгебраическое многообразие, Проективная схема. С. м. обладают рядом хороших когомологич. свойств. 1) Если морфизм собственный и F- когерентный пучок О X -модулей, то для любого пучки О Y -модулей когерентны (теорема конечности). Аналогичный факт имеет место и для этальных когомологий. В частности, если X — полная схема над полем k, то пространства когомологий Н q( Х, F )конечномерны. 2) Для любой точки пополнение OY, у -модуля совпадает с где J — идеал подсхемы f-1 (у) в X(теорема о сравнении). 3) Если X — собственная схема над полным локальным кольцом А, то категории когерентных пучков на Xи на ее формальном пополнении эквивалентны (теорема алгебраизуeмости). Существуют аналитич. аналоги первого и третьего свойств. Напр. (см. [3]): для полной -схемы Xлюбой аналитический когерентный пучок на алгебраизуем и 4) Пусть — С. м., F — пучок конечных абелевых групп в этальной топологии X, — геометрич. точка схемы Y; тогда слой пучка в точке изоморфен (теорема о замене базы, см. [2]). Лит.:[1] Grothendieck A., Dieudonnc J., Elements de geometric algebrique, t. 2-3, P., 1961-63; [2] Theorie des topos et cohomologie etale des schemas, t. 1-3, B.- [a. о.], 1972-73; [3] Revetements Stales et groupe fondamental, B. -la. o.], 1971; [4] Xартсхорн Р., Алгебраическая геометрия, пер. с англ., М., 1981. В. И. Данилов.