Собственное Значение

Оператора (преобразования) А векторного пространства Lнад полем k — элемент такой, что существует ненулевой вектор удовлетворяющий условию Вектор хв этом равенстве наз. собственным векторам оператора А, принадлежащим С. з. В случае, когда оператор А линеен, С. з.- это такой элемент что оператор (где I — тождественный оператор) не инъективен. Если пространство . конечномерно, то С. з. совпадают с корнями характеристического многочлена (из поля k), где А — матрица линейного преобразования А в нек-ром базисе, а Е — единичная матрица. Кратность С. з. как корня этого многочлена наз. алгебраической кратностью. Для любого линейного преобразования конечномерного пространства над алгебраически замкнутым полем kмножество С. з. непусто. Оба условия — конечномерность и алгебраич. замкнутость — существенны. Напр., поворот евклидовой плоскости на любой угол, не кратный не имеет С. з. С другой стороны, для оператора в гильбертовом пространстве, сопряженного сдвигу, каждое число из открытого единичного круга — С. з. Совокупность всех С. з. линейного преобразования конечномерного пространства наз. спектром линейного преобразования. Линейное преобразование n-мерного пространства диагоналмзируемо (т. е. существует базис, в котором матрица преобразования диагональна) тогда и только тогда, когда алгебраическая кратность каждого С. з. равна его геометрической кратности — размерности собственного подпространства (см. Собственный вектор). соответствующего данному С. з. В частности, для диагонализируемости линейного преобразования достаточно, чтобы оно имело празличных С. з. квадратной матрицы . над полем k(или характеристический корень) — корень ее характеристического многочлена. Лит. см. при статьях Линейное преобразование. Матрица. Т. С. Пиголкина, В. С. Шулъман.