Смешанного Типа Уравнение

Дифференцированное уравнение с частными производными, к-рое в области задания принадлежит различным типам (эллиптическому, гиперболическому или параболическому). Линейное (или квазилинейное) дифференциальное уравнение 2-го порядка с двумя неизвестными переменными и с непрерывными коэффициентами в области задания является С. т. у., если в этой области дискриминант характеристич. формы обращается в нуль, не будучи там тождественно равным нулю. Кривая определяемая уравнением наз. параболической линией уравнения (1), или линией вырождения (изменения) типа уравнения. Если дискриминант в области не меняет знака при переходе точки ( х, у )через параболич. линию то уравнение (1) относится к вырожденным уравнениям эллиптико-параболического или гиперболо-параболического типа (см. Вырожденное уравнение с частными производными). При нек-рых условиях гладкости коэффициентов А, В, С и параболич. линии существуют неособое действительное преобразование независимых переменных, приводящее уравнение (1) со знакопеременным дискрилншантом (в окрестности выбранной точки линии где к одному из следующих канонич. видов (обозначения для независимых переменных сохранены): Уравнения (2) и (3) являются С. т. у. (эллиптико-параболич. типа) в любой области, содержащей внутри себя интервал линии вырождения y = 0. Область задания С. т. у. принято называть смешанной областью, а краевые задачи в смешанных областях — смешанными краевыми задачами. Часть смешанной области где уравнение принадлежит эллиптическому (гиперболическому) типу, наз. областью эллиптичности (гиперболичности). К отысканию определенных решений С. т. у. сводятся многие проблемы прикладного характера, в частности проблемы околозвукового течения сжимаемой среды и безмоментной теории оболочек. С. т. у. (1) наз. уравнением первого рода (второго рода), если всюду вдоль параболич. линии характеристич. форма Уравнение Чаплыгина где k(у) — непрерывно дифференцируемая монотонная функция такая, что yk(y)>0 при -типичный пример С. т. у. 1-го рода. При k(y) = y уравнение (4) принято называть Трикоми уравнением. Важной моделью С. т. у. (с разрывными коэффициентами при старших производных) является уравнение Лаврентьева — Бицадзе Одной из основных краевых задач для С. т. у. (первого рода) является задача Трикоми, к-рая для уравнения вида (2) ставится следующим образом. Пусть — конечная односвязная область евклидовой плоскости независимых переменных хи у, ограниченная простой жордановой кривой о с концами в точках А(0,0), В(1,0), лежащей в полуплоскости у>0, и частями АС и ВС характеристик уравнения (2), выходящими из точки С(1/2, у C), yC<0. Задача Трикоми заключается в отыскании решения и( х, у )уравнения (2), непрерывного в замыкании области и принимающего наперед заданные значения на кривой В теории задачи Трикоми существенную роль играет принцип экстремума Бицадзе, к-рый в случае уравнения (5) гласит: решение и( х, у )уравнения (5) из класса обращающееся в нуль на характеристике АС: х+у=0, в замыкании области эллиптичности своего экстремума достигает на кривой Этот принцип, из к-рого следует единственность и устойчивость решения задачи Трикоми, а также обоснование альтернирующего метода его отыскания, распространен на весьма широкий класс линейных и квазилинейных С. т. у. В частности, этому классу принадлежат уравнения Чаплыгина (и Трикоми), если k(у)дважды непрерывно дифференцируема и при у<0. Принцип экстремума Бицадзе остается в силе и для уравнения Решение задачи Трикоми для уравнения (6) в соответствующей смешанной области выписывается в явном виде, если эллиптич. часть а границы этой области совпадает с т. н. нормальным контуром В общем случае при определенных условиях на кривую и на класс искомых решений задача Трикоми для уравнения (6) эквивалентно редуцируется к сингулярному интегральному уравнению, безусловная разрешимость к-рого следует из единственности решения. Метод интегральных уравнений успешно применяется и при доказательстве существования решения задачи Трикоми и др. смешанных задач для более общих уравнений вида со степенным вырождением порядка Методы теории функций и функционального анализа, особенно метод априорных оценок, позволили значительно расширить класс С. т. у. и смешанных областей, для к-рых имеет место единственность и существование (обобщенного) решения как задачи Трикоми, так и ряда др. смешанных задач. Существенным обобщением задачи Трикоми является общая смешанная задача Бицадзе, к-рая в случае уравнения (5) ставится следующим образом. Пусть — односвязная смешанная область, ограниченная лежащей в полуплоскости у>0 простой жордановой кривой с концами в точках А(0,0), В(1, 0) и выходящими из этих точек (гладкими) монотонными кривыми Г 0 и Г 1, к-рые пересекаются в точке С(x1, y1), y1<0. Предполагается, что кривые Г 0 и Г 1 принадлежат области, ограниченной характеристиками х+у =0, х-у =1и отрезком прямой у=0. Через В 0 и В 1 обозначены точки пересечения характеристик х-у=х 0 и х+у=х0 с кривыми Г 0 и Г 1, где х 0 — любая фиксированная точка из полуинтервала а через и — части кривых Г 0 и Г 1, лежащих между точками А, В 0 и В, В1 соответственно. Общая смешанная задача Бицадзе заключается в отыскании регулярного (при решения уравнения (5) в области к-рое непрерывно в имеет непрерывные первые производные в при и удовлетворяет заданным краевым условиям на кривых и Единственность и существование решения этой задачи как для уравнения (5), так и для более общих уравнений доказаны при нек-рых условиях геометрия, характера на границу области особенно на кривую Общую смешанную задачу Бицадзе можно считать полностью исследованной в частном случае, когда кривая Г 1 совпадает (х 0=1) свыходящей из точки Вхарактеристикой ВС. Важным следствием корректности общей смешанной задачи Бицадзе, напр. для уравнения(5), является тот факт, что для смешанных областей вида Дирихле задача некорректна независимо от величины и формы области гиперболичности Для довольно широкого класса линейных уравнений установлено, что на корректность задачи Дирихле в соответствующих смешанных областях вида существенное влияние может оказать коэффициент а (х, у). Смешанной задачей нового типа является задача Франкля. Пусть односвязная область ограничена: отрезком А'А, прямой х=0; гладкой кривой с концами в точках А(0, 1) и В( а,0), расположенной в квадранте х>0, y>0; отрезком прямой у=0 и проходящей через точки А'(0,- 1), С(а 1,0) характеристикой рассматриваемого С.