Случайное Поле

Случайный процесс с многомерным временем, или с многомерным параметром,- случайная функция, заданная на множестве точек какого-то многомерного пространства. С. п. представляют собой важный тип случайных функций, часто встречающийся в различных приложениях. Примерами С. п., зависящих от трех пространственных координат х, у, z (а также и от времени t), могут служить, в частности, поля компонент скорости, давления и температуры турбулентного течения жидкости или газа (см. [1]); С. п., зависящим от двух координат . и у, будет высота z взволнованной морской поверхности или поверхности какой-либо шероховатой пластинки (см. [2]); при исследовании глобальных атмосферных процессов в масштабе всей Земли поля наземного давления и др. метеорологич. характеристик иногда рассматриваются как С. п. на сфере и т. д. Теория С. п. общего вида фактически не отличается от общей теории случайных функций; более содержательные конкретные результаты удается получить лишь для ряда специальных классов С. п., обладающих дополнительными свойствами, облегчающими их изучение. Одним из таких классов является класс случайных полей однородных, заданных на однородном пространстве S с группой преобразований Gи обладающих тем свойством, что распределения вероятностей значений поля на произвольной конечной группе точек пространства Sили же среднее значение поля и вторые моменты его значений в парах точек не меняются при применении к аргументам поля какого-либо преобразования из группы G. Однородные С. п. на евклидовом пространстве Rk, k==1, 2, . . . , или на решетке Z* точек Rk с целочисленными координатами, отвечающие выбору в качестве группы G совокупности всевозможных (или всех целочисленных) параллельных переносов, являются естественным обобщением стационарных случайных процессов, на к-рое просто переносится большая часть результатов, доказанных для таких процессов; большой интерес для приложений (в частности, для механики турбулентности, ср. [1]) представляют также т. н. однородные и изотропные поля на R3 и R2, отвечающие выбору в качестве группы Gсовокупности всевозможных изометрич. преобразований соответствующего пространства. Важной особенностью однородных С. п. является существование спектральных разложений специального вида как самих таких полей, так и их корреляционных функций (см., напр., [3], [4]). Другим привлекающим много внимания классом С. п. является класс марковских случайных полей, заданных в нек-рой области . пространства Rk. Условие марковости С. п. U(х), грубо говоря, означает, что для достаточно широкой совокупности открытых множеств Q , имеющих границу Г, фиксация значений поля в -окрестности границы Г при любом делает семейства случайных величин и где Т — дополнение замыкания Qв К, взаимно независимыми (или, в случае марковости в широком смысле, взаимно некоррелированными; см., напр., [5]). Обобщением понятия марковского С. п. является понятие L-марковского С. п., для к-рого указанная выше независимость (или некоррелированность) имеет место лишь при замене границы Г области . специальным образом оп- ределенной утолщенной границей Г+L. Теория марковских С. п. и L-марковских полей имеет ряд важных применений в физич. теории квантовых полей и в статистич. физике (см. [6], [7]). Еще одним классом С. п., возникшим из задач статистич. физики, является класс гиббсовских случайных полей, распределения вероятностей к-рых могут быть выражены через Гиббса распределение (см. [7], [8]). Удобным способом задания гиббсовских С. п. оказалось их задание с помощью совокупности условных распределений вероятностей значений поля в конечной области, отвечающих фиксированным всем его значениям вне этой области. Следует отметить, что С. п. на гладком многообразии Sчасто удобно рассматривать как частный случай случайного поля обобщенного, для которого могут не существовать значения в одной заданной точке, но имеют смысл сглаженные значения представляющие собой случайные линейные функционалы, определенные на нек-ром пространстве Dгладких основных функций Обобщенные С. п. (особенно обобщенные марковские С. ц.) используются в физич. приложениях; рассматривая лишь функции такие, что в рамках теории обобщенных С. п. можно определить также родственные случайным процессам со стационарными приращениями локально однородные (и локально однородные и локально изотропные) С. п., играющие важную роль в статистич. теории турбулентности (см., напр., [1], [9]). Лит.:[1] Монин А. С., Яглом А. М., Статистическая гидромеханика, ч. 1-2, М., 1965-67; [2] Xусу А. П., Витенберг Ю. Р., Пальмов В. А., Шероховатость поверхностей (теоретико-вероятностный подход), М., 1975; [3] Xеннан Э., Представления групп и прикладная теория вероятностей, пер. с англ., М., 1970; [4] Ядренко М. И., Спектральная теория случайных полей, К., 1980; [5] Розанов Ю. А., Марковские случайные поля, М., 1981; [6] Саймон Б., Модель эвклидовой квантовой теории поля, пер. с англ., М., 1976; [7] Престон К., Гиббсовские состояния на счетных множествах, пер. с англ., М, 1977; [8] Многокомпонентные случайные системы, М., 1978; [9] Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я, Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства, М., 1961. А. М. Яглом.