Сколема Парадокс

Следствие теоремы Лёвенхейма-Сколема (см. Гёделя теорема о полноте), состоящее в том, что всякая непротиворечивая формальная аксиоматич. теория, заданная счетным семейством аксиом, выполнима в счетной области. В частности, если предположить непротиворечивость аксиоматич. системы теории множеств Цермело — Френкеля или простой теории типов (см. Аксиоматическая теория множеств), то существует интерпретация этих теорий на счетной области. И это несмотря на то, что сами эти теории предназначены для описания весьма обширных фрагментов наивной теории множеств и в рамках этих теорий можно доказать существование множеств весьма большой несчетной мощности, так что в любой интерпретации этой теории должны существовать несчетные множества. Следует подчеркнуть, что С. п. не является парадоксом в строгом смысле этого слова, т. е. отнюдь не свидетельствует о противоречивости теории, в рамках к-рой он установлен (см. также Антиномия). Кажущаяся парадоксальность С. п. может быть прояснена тем, что счетно-бесконечная интерпретация теории множеств является в нек-ром роде нестандартной. Элемент интерпретации может оказаться счетным в широком интуитивном смысле и несчетным внутри самой теории. Последнее означает, что среди элементов интерпретации отсутствует функция, задающая взаимно однозначное соответствие между элементами данного множества и элементами множества натуральных чисел, в то время как с теоретико-множественной точки зрения существование такой функции можно доказать. Лит.:[1] Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957. А. Г. Драгалин.