Склеивания Теоремы

Теоремы, к-рые устанавливают существование аналитич. ций, подчиненных определенным соотношениям на границе области. Теорема склеивания Лаврентьева [1]: какова бы ни была аналитич. ция х=j(x), определенная на сегменте [ -1,1], j( ±1)= ±1, j'(x)>0, можно построить две аналитич. ции f1 (z, h). и f2(z, h),z=x+iy, h=const, отображающие однолистно и конформно прямоугольник | х|<1, -h<y<0 и прямоугольник | х|<1, 0<y<h соответственно на области D1 и D2 без общих точек так, что f1(x, h) = f2 (j(х), h). Эта С. т. была использована (см. [6]) для доказательства теоремы о существовании функции w=f(z), f(0)=0, f(1)=1, осуществляющей квазиконформное отображение круга на круг и обладающей почти всюду заданной характеристикой h(z), где h(z) — измеримая функция, определенная почти для всех . С. т., являющаяся видоизменением С. т. Лаврентьева, была также использована при решении вопроса о конформном отображении односвязной римановой поверхности на однолистный круг [5]. Были получены и другие С. т. (см. [2]), сыгравшие важную роль в теории римановых поверхностей (при этом брались более слабые ограничения на функцию типа x1=j(x)). Имеет место следующая С. т. (см. [3], [5]): пусть на окружности |z|=l дана дуга g1 с концами аи b,, и на g1 задана функция g(z), обладающая свойствами: 1) она регулярна во всех внутренних точках дуги g1 и в них ; 2) функция z1=g(z).устанавливает взаимно однозначное отображение дуги g1 на дополнительную дугу g2 на |z|=l c сохранением концов аи b;тогда существует функция регулярная в , за исключением точек 0, аи b, и во внутренних точках дуги g1 удовлетворяющая соотношению F(z)=F(g(z)). Доказано также существование функции F(z), однолистной в |z|<l (см. [4], гл. 2). Лит.:[1] Лаврентьев М. А., "Матем. сб.", 1935, т. 42, № 4, с. 407-24; [2] Волковыский Л. И., там же, 1946 т. 18, Ju 2, с. 185-212; [3] SchaefferA.C.,SpencerD.C., "Duke Math. J.", 1947, v. 14,№4,p. 949-66; [4] их же, "Amer Math. Soc. Colloq. Publ.", 1950, v. 35; [5] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966, гл. 11, § 1-2; [6] Белинский П. П., Общие свойства квазиконформных отображений, Новосиб., 1974, гл. 2, § 1. Е. Г. Голузина.