Сингулярный Интеграл

Интеграл с особенностью в точке х, определенный для интегрируемой на [a, b]функции f(x), ядро к-рого Ф n(t, х).удовлетворяет условиям: для любого d>0 и произвольного интервала и причем Ф x(d) зависит только от d и хи не зависит от п. Если условия (1), (2) и (3) выполняются равномерно на x-множестве , то интеграл In(f, х).наз. равномерно сингулярным на Е. Наиболее изучены свойства т. н. положительных ядер (Ф n(t, х)0), Дирихле ядер ядер Фейера ядер Пуассона — Абеля ядер, порожденных различными методами суммирования ортогональных разложений по ортонормирован-ным полиномам. Понятие "С. и." введено А. Лебегом [1], указавшим на его важность при исследовании вопросов сходимости. Так, к исследованию сходимости С. и. приводят вопросы сходимости и суммируемости тригонометрич. рядов Фурье, рядов по ортогональным многочленам, а также разложений по общим ортогональным системам. А. Лебегом был установлен критерий сходимости С. и. для непрерывных функций f(х).с ограниченной вариацией. Д. К. Фаддеев [2] установил необходимые и достаточные условия для сходимости С. и. в точках Лебега суммируемой функции f(x). Так как данные А. Лебегом и Д. К. Фаддеевым условия сходимости С. и. трудно проверяемы для конкретных С. и., то целый ряд работ был посвящен отысканию эффективных достаточных условий сходимости С. и. как в отдельных точках, так и для равномерной сходимости. Для сходимости С. и. в точках непрерывности достаточна ограниченность нормы оператора In(f, х), т. е. ограниченность интеграла а для сходимости в точках Лебега необходимо существование т. н. "горбатой мажоранты" для ядра Ф n(t, х), т. е. такой интегрируемой функции , к-рая монотонно возрастает на [ а, х), монотонно убывает на ( х, b]и для почти всех причем Лит.:[1] Lebesque H., "Ann. Fac. sci. Univ. Toulouse", 1909, v. 1, p. 25 — 117; [2] Фаддеев Д. К., "Матем. сб.", 1936, т. 1, с. 351-68; [3] Коровкин П. П., Линейные операторы и теория приближений, М., 1959; [4] Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 3 изд., М., 1974; [5] Алексич Г., Проблемы сходимости ортогональных рядов, пер. с англ., М., 1963; [6] Ефимов А. В., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1960, т. 24, в. 5, с. 743-56; [7] Теляковский С. А., там же, 1964, т. 28, в. 6, с. 1209-36. А. В. Ефимов.