Сингулярные Гомологии

Гомологии, определяемые исходя из сингулярных симплексов топология, пространства Xтаким же образом, как обычные (симплициальные) гомологии (и когомологии) полиэдра — исходя из линейных симплексов. Под сингулярным симплексом sn понимается непрерывное отображение n-мерного стандартного симплекса Dn в X, причем образ sn обычно наз. носителем sn и обозначается |sn|. Сингулярные цепи — это формальные линейные комбинации сингулярных симплексов коэффициентами в абелевой группе G. Они образуют группу Sn(X; G), изоморфную прямой сумме групп G0n=G (по всем sn). Группы цепей объединяются в сингулярный цепной комплекс S*(X; G).с граничным гомоморфизмом д:Sn(X; G)Sn-1(X; G), определяемым соотношением где — композиция с sn стандартного наложения Dn-1 на i-ю грань Dn. Как обычно, циклами считаются цепи, принадлежащие ядру, а границами — цепи, содержащиеся в образе д n. Группа n-мерных сингулярных гомологии определяется как факторгруппа группы n-мерных циклов по подгруппе границ. Если , то группы определяются подкомплексом в S*(X; G), состоящим из всех цепей с носителями в А, а группы пары — соответствующим факторкомплексом. Имеет место точная гомологич. последовательность являющаяся ковариантным функтором на категории пар (X, А).топологич. пространств и их непрерывных отображений. Гомоморфизм d определяется границей в Xцикла пары (X, А), представляющего соответствующий элемент из . С. г.- гомологии с компактными носителями в том смысле, что группы Xравны прямому пределу гомологии компактных . Сингулярные когомологии определяются дуальным образом. Комплекс коцепей S*(X; G).определяется как комплекс гомоморфизмов в Gкомплекса целочисленных сингулярных цепей S*(X;). Менее формально, коцепи — это функции x, определенные на сингулярных симплексах и принимающие значения в G, а пограничный гомоморфизм dопределяется формулой Сингулярные когомологии — это факторгруппы групп n-мерных коциклов (ядер d).по подгруппам кограниц (образов d). Когомологии подпространства Асовпадают с когомологиями ограничения S*(X; G).на А, в то время как когомологии пары — с подкомплексом в S*(X; G), состоящим из всех коцепей, обращающихся в нуль на сингулярных симплексах из А. Имеет место точная последовательность являющаяся контравариантным функтором (X, А). Отображение d определяется кограницей в Xкоцикла из А, представляющего нужный элемент . Гомологии и когомологии с коэффициентами в произвольной группе Gмогут быть выражены через целочисленные гомологии с помощью формул универсальных коэффициентов. Когомологии с коэффициентами в группе Gсвязаны с целочисленными когомологиями формулами универсальных коэффициентов только для конечно порожденных групп G. В категории полиэдров сингулярная теория эквивалентна симилициальной (а также клеточной). Этим обычно устанавливается топологич. инвариантность последних. Однако значение групп С. г. этим не исчерпывается. Имея простое описание, они применимы в достаточно широких категориях топологич. пространств, гомотопически инвариантны. Естественные связи с теорией гомотопий делают сигнулярную теорию незаменимой в гомотопич. топологии. Однако, хотя группы С. г. определены для любых топологич. пространств без каких-либо ограничений, их применение оправдано лишь при существенных ограничениях типа локальной стягиваемости или гомологической локальной связности. Сингулярные цепи, будучи по своей природе "слишком" линейно связными, не несут в себе информацию о "непрерывных" циклах, если они не являются "достаточно" линейно связными. Возможны и другие "аномалии" (напр., гомологии компактных подпространств евклидова пространства могут отличаться от нуля в сколь угодно высоких размерностях, гомологии и когомологии пары (X, А).могут неизоморфно отображаться при отображении Xна факторпространство X/А, отвечающее замкнутому подмножеству , и т. п.). Поэтому в общих категориях топологич. пространств вместо сингулярных обычно используются когомологии Александрова — Чеха и ассоциированные с ними гомологии. Эти теории свободны от указанных недостатков и совпадают с сингулярной всякий раз, когда ее применение не вызывает сомнений. Лит.:[1]Дольц А., Лекции по алгебраической топологии, пер. с англ., М., 1976; [2] Масси У., Теория гомологии и когомологии, пер. с англ., М., 1981, гл. 8-9; [3] Скляренко Е. Г., "Успехи матем. наук", 1979, т. 34, в. 6, с. 90-118; [4] Мassеу W., Singular homology theory, N. Y., 1980. Е. Г. Скляренко.