Символ Оператора

Скалярная или матричная функция, ассоциированная с оператором и обладающая свойствами, в той или иной форме отражающими свойства этого оператора. Обычно считается, что С. о. заданы для операторов, принадлежащих нек-рой алгебре. Тогда, как правило, при сложении операторов их символы складываются, а при умножении — перемножаются с точностью до членов, в нек-ром смысле являющихся младшими, но иногда и точно. Бывает, что С. о.- это функция со значениями в нек-рой алгебре (в частности, операторной алгебре), более простой, чем исходная. Обычно символы ассоциируются с операторами, действующими в функциональных пространствах. Тогда одна из типичных ситуаций состоит в том, что если оператор действует на функции от ппеременных (или, более общо, на функции на n-мерном многообразии), то его символ — функция от 2ппеременных (или на 2n-мерном многообразии). На основе использования таких С. о. строится теория псевдодифференциалъных операторов. Соответствие между символами и операторами является основой квантования, при к-ром символ является классич. величиной, а сам оператор — соответствующей квантовой величиной. С и м в о л ы о п е р а т о р о в в . Пусть дан полином где , q = (q1, . . ., qn), p =(p1, ..., р п)- муль-тииндексы (т. е., напр., a=(al . . ., an),, aj — целые, . Тогда по нему несколькими различными способами можно построить оператор А, действующий на функциях на подставляя вместо qj оператор умножения на одну из координат xj в , а вместо р j — оператор = , где , h- произвольная постоянная (играющая роль постоянной Планка). Если при этом менять порядок букв qи р, то получатся разные операторы. Если положить то a(q, р )наз. qp- символом, или левым символом оператора А. Получаемое таким образом соответствие между левыми символами и операторами является взаимно однозначным соответствием между полиномами и дифференциальными операторами с полиномиальными коэффициентами и может быть распространено на значительно более широкие классы операторов и символов, если воспользоваться формулой где для n-мерных векторов z=(z1 . . ., zn) и x=(x1, . . ., x п), dy=dy1,... ., dyn, dx=dx1... dxn. Оператор Ас pq-cи м в о л о м, или правым символом a(q, р )определяется формулой пли для более общих символов Более симметричный способ построения оператора по полиному a(q, р )получается, если ввести для некоммутирующих операторов В, С симметризованное произведение формулой а затем положить Тогда a(q, р )наз. символом Вейля оператора А. Оператор Аможет быть записан через символ Вейля по формуле Вторичное квантование приводит к появлению еще двух видов символов операторов на -виковского и антивиковского. А именно, если ввести операторы рождения и операторы уничтожения и записать дифференциальный оператор с полиномиальными коэффициентами в виде или в виде то его виковский символ c(q, р )и антивиковский символ a(q, р )задаются соответственно формулами О формулах, связывающих разные виды символов одного и того же оператора, см. в [1] — [4]. Символы операторов на многообразии. Если символы описанных выше типов на взаимно однозначно соответствуют операторам нек-рых достаточно широких классов, то на многообразии, как правило, нет естественных символов, для к-рых существовало бы такое взаимно однозначное соответствие. На многообразии важную роль играет т. н. главный символ, к-рый определяется для нек-рых псевдодифференциальных операторов и является однородной функцией на — кокасательном расслоении многообразия X без нулевого сечения. Его обратимость означает, что рассматриваемый оператор Аявляется эллиптическим и гарантирует выполнение теоремы регулярности, т. е. гладкости решений уравнения Au=f с гладкой правой частью f, а также фредгольмовость оператора А(в случае компактного X)в подходящих пространствах Соболева. При сложении и умножении операторов их главные символы соответственно складываются и перемножаются. Главный символ не меняется при добавлении к оператору членов меньшего порядка. Символы операторов на многообразии с краем. На многообразии с краем Xпсевдодифференциальный оператор имеет вид матрицы (см. [5]): где E1, Е2 — векторные расслоения на X, G1G2 — векторные расслоения на Y, А — псевдодифференциальный оператор на X,удовлетворяющий трансмиссии условию, Т — граничный оператор, т. е. оператор взятия каких-то граничных условий (вообще говоря, псевдодифференциальных), K — кограничный оператор, или оператор типа потенциала, В — сингулярный оператор Грина (так называются композиции граничных и кограничных операторов и нек-рые более общие операторы аналогичной структуры), (Q- псевдодифференциальный оператор на Y. Оператор имеет символы двух типов: внутренний и граничный: Внутренний символ — это обычный символ оператора А, являющийся функцией на , точнее, сечением расслоения Hom (p*E1, p*E2), где — канонич. проекция. Граничный символ — это функция на , значения к-рой — операторы на полуоси , получающиеся из замораживанием коэффициентов главной части в точке границы (в координатах, в к-рых граница является гиперплоскостью) и последующим преобразованием Фурье по касательным переменным. Обратимость — это обычная эллиптичность оператора А. Если предположить эту эллиптичность, то обратимость в классах убывающих функций на полуоси — это фактически условие эллиптичности граничной задачи, определяемой оператором , или т. н. условие Шапиро-Лопатинского. Таким образом, символом естественно называть пару . Если обратимы оба символа и , то наз. эллиптическим, и в этом случае для него верны обычные теоремы о регулярности и фредгольмовости (последняя — когда Xкомпактно). Лит.:[1] Б е р е з и н Ф. А., Метод вторичного квантования, М., 1965; [2] М а с л о в В. П., Операторные методы, М., 1973; [3] Ш у б и н М. А., Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория, М., 1978; [4] Б е р е з и н Ф. А., "Матем. сб.", 1971, т. 86 № 4, с. 578-610; [5] В о u t e t d е М о n v е 1 L., "Acta math.", 1971 v. 126, p. 11-51. М. А. Шубин.