Симплициальное Множество

(прежние названия — полусимплициальный комплекс, полный полусимплициальный комплекс) — симплициальный объект категории множеств Ens, т. е. система множеств (n-х слоев) , связанных отображениями , (операторами граней), и si: К п Kn+1, (операторами вырождения), удовлетворяющих соотношениям Точки слоя К п наз. n-мерными симплексами С. м. К. Если заданы только операторы di, удовлетворяющие соотношениям didj=dj-1di, i<j, то система наз. полусимплициальным множеством. Симплициальным отображением f: К К' С. м. Кв С. м. К' наз. морфизм функторов, т. е. последовательность отображений , , удовлетворяющих соотношениям, С. м. и их симплициальные отображения образуют категорию . Если все отображения fn являются вложениями, то С. м. Кназ. симплициальным подмножеством С. м. К'. При этом операторы граней и вырождения в С. м. Кпредставляют собой ограничения соответствующих операторов в С. м. K'. Для любого топологич. пространства Xопределено С. м. S(X), наз. сингулярным С. м. пространства X, симплексами к-рого являются сингулярные симплексы пространства X(см. Сингулярные гомологии), т. е. непрерывные отображения , где Dn — n-мерный геометрический стандартный симплекс Операторы граней di и вырождения si этого С. м. определяются формулами Соответствие является функтором (наз. сингулярным функтором) из категории топологич. пространств Тор в категорию С. м. D0Ens. Произвольная симплициальная схема К определяет С. м. О(К), симплексами размерности пк-рого являются (n+1) — членные последовательности (x0, . . ., х n).вершин схемы К, обладающие тем свойством, что в Ксуществует такой симплекс s, что для любого i=0, 1, . . ., п. Операторы граней di и вырождения si этого С. м. определяются формулами где знак ^ означает, что символ, стоящий под ним, опускается. Если симплициальная схема Купорядочена, то симплексы ( х 0, . .., х п), для к-рых , образуют симплициальное подмножество О + (К) С. М. О(К). Соответствие (и ) является функтором из категории симплициальных схем (упорядоченных симплициальных схем) в категорию D0Ens. Для произвольной группы p определено С. м. К(p), симплексами размерности пк-рого являются классы пропорциональных (n+1)-членных последовательностей (по определению , если существует такой элемент , что x'i=yxi для всех i=0,...,п). Операторы граней di и вырождения si С. м. К(я) определяются формулами С. м. К(p) является на самом деле симплициальной группой. Для произвольной абелевой группы p и любого целого определено С. м. (на самом деле, симплициальная абелева группа) E(p, п), симплексами размерности qк-рого являются re-мерные коцепи q-мерного геометрического стандартного симплекса Dq с коэффициентами в группе я (таким образом, Е(p, n)q=С n(Dq;p)). Обозначая вершины симплекса Dq символами , определяют симплициальные отображения и формулами Индуцированные гомоморфизмы групп коцепей являются, по определению, операторами граней и вырождения С. м. Е(p, п). Симплексы, являющиеся коциклами, образуют симплициальное подмножество С. м. Е(p, п), к-рое наз. С. м. Эйленберга — Маклейна и обозначается К(p, n). Пограничный оператор на группах С*(Dq; p) определяет каноническое симплициальное отображение Е(p, п)K(p, n+1), к-рое обозначается d. Поскольку понятие одномерного коцикла имеет смысл и для неабелевой группы p (см. Неабелевы когомологии), С. м. К(p, 1) определено и без предположения, что группа p абелева. Это С. м.