Симплициальная Схема

(прежние названия — симплициальный комплекс, абстрактный симплициальный комплекс) — множество, элементы к-рого наз. вершинами и в к-ром выделены такие конечные непустые подмножества, наз. симплексами, что каждое непустое подмножество симплекса s является симплексом, наз. гранью симплекса s, и каждое одноэлементное подмножество является симплексом. Симплекс наз. q- мерным, если он состоит из q+1 вершин. Размерностью dim K симплициальной схемы Кназ. максимальная размерность ее симплексов (она может быть и бесконечной). С. с. наз. локально конечной, если каждая ее вершина принадлежит лишь конечному числу симплексов. С. с. наз. упорядоченной, если на ней задано частичное упорядочение, линейное на каждом симплексе. Пример С. с. Пусть X — множество и U= — нек-рое семейство его непустых подмножеств. Непустое конечное подмножество наз. симплексом, если множество непусто. Получающаяся С. с. Аназ. нервом семейства U. Симплициальным отображением С. с. K1 в симплициальную схему К 2 наз. такое отображение , что для каждого симплекса s в С. с. К 1 его образ f(s) является симплексом в С. с. К 2. С. с. и их симшшциальные отображения составляют категорию. Если симплициальное отображение является вложением, то С. с. Lназ. симплициальной подсхемой С. с. К. Все симплексы С. с. Кразмерности, меньшей или равной n, составляют симплициальную подсхему С. с. К, к-рая обозначается К n и наз. n-мерным (или n-м) остовом С. с. К. Симплициальная подсхема LС. с. Кназ. полной, если каждый симплекс в К, все вершины к-рого принадлежат L, сам лежит в L. Каждой С. с. Кканонически сопоставляется симплициальное множество О (К), симплексами размерности пк-рого являются ( п+1)-членные последовательности (x0, . . ., х п).вершин С. с. К, обладающие тем свойством, что в Ксуществует такой симплекс s, что для любого i=0,1,...,n. Операторы граней di и вырождения si этого симплициального множества определяются формулами где знак означает, что символ, стоящий под ним, опускается. Для упорядоченной С. с. Копределено симплициальное подмножество , состоящее из тех симплексов ( х 0,..., х п), для к-рых . Группы (ко)гомологий симплициального множества О(К).изоморфны группам (ко)гомологий симплициального множества О + (К).и наз. группами (ко)гомологий С. с. Каждому симплициальному разбиению (симплициальному пространству) Xотвечает С. с. симплициального разбиения, вершинами к-рой являются вершины разбиения X, а симплексами — те непустые конечные множества вершин, на к-рые в Xнатянут симплекс. Для каждой С. с. Ксуществует однозначно определенное с точностью до изоморфизма симплициальное разбиение, С. с. к-рого является К. Оно наз. геометрической реализацией (или телом) С. с. Ки обозначается | К|. Им является геометрич. реализация в смысле Дживера — Ху (см. Симплициальное множество) ||О (К)|| симплициального множества О(К), а если С. с. Купорядочена — геометрич. реализация в смысле Милнора | О + (К)|симплициального множества О + (К). Соответствие К ||О (К)|| является ковариантным функтором из категории С. с. в категорию клеточных разбиений (клеточных пространств). Топологич. пространство X, гомеоморфное толу | К| нек-рой С. с. К, наз. полиэдром (а также триангулируемым пространством), а пара ( К, f), где — гомеоморфизм, наз. триангуляцией пространства X. Точки топологич. пространства | К| можно отождествить с функциями , для к-рых множество является симплексом в Ки Число a(х).наз. х-й барицентрической координатой точки a. Формула определяет на множестве | К| метрику, но соответствующая метрич. топология, вообще говоря, сильнее топологии пространства | К|. Множество | К|, снабженное метрич. топологией, обозначается | К|d. С. с. Кизоморфна нерву семейства звезд вершин пространства | К|, т. е. открытых подмножеств Stx=, где . Следующие утверждения равносильны: 1) С. с. Клокально конечна; 2) пространство | К| локально компактно; 3) |K|-|K|d;4) пространство | К| метризуемо; 5) пространство | К| удовлетворяет первой аксиоме счетности. Пространство | К| сепарабельно (компактно) тогда и только тогда, когда С. с. Кне более чем счетна (конечна). Клетки клеточного разбиения | К| находятся в биективном соответствии с симплексами С. с. | К|, и замыкание |s| клетки, соответствующей симплексу s, определяется формулой Оно гомеоморфно q-мерному (q=dims) замкнутому шару (так что клеточное разбиение | К| регулярно). Более того, на каждом множестве |s| имеется канонич. линейная (аффинная) структура, по отношению к к-рой оно изоморфно стандартному симплексуDq. Отсюда и из того, что для любых симплексов , вытекает, что пространство | К| может быть гомеоморфно отображено (вложено) в пространство (возможно, с трансфинитным п).так, чтобы все замкнутые клетки |s| оказались (прямолинейными) симплексами. Это означает, что образ | К| в является симплициальным пространством (полиэдром), т. е. объединением замкнутых симплексов, пересекающихся только по целым граням. Это симплициальное пространство наз. реализацией С. с. Кв . С. с. Ктогда и только тогда реализуется в пространстве с конечным п, когда С. с. Клокально конечна, не более чем счетна и ее размерность конечна. При этом, если , то Креализуется в . С. с., состоящая из 2n+3 вершин, каждое (n+1) -элементное подмножество к-рой является симплексом, в не реализуется. По любой С. с. Кможно построить новую С. с. Bd К, вершинами к-рой являются симплексы С. с. К, а симплексами — такие семейства (s0, . . ., sq). симплексов из К, что . С. с. ВdКназ. барицентрическим измельчением (или подраз делением) С. с. К Клеточные пространства |BdK| и | К| естественно гомеоморфны (но не изоморфны). При этом гомеоморфизме каждая вершина |s| из |BdK| (т.