Симметрическая Алгебра

Обобщение алгебры многочленов. Если М — унитарный модуль над коммутативно-ассоциативным кольцом Ас единицей, то С. а. модуля Мназ. алгебра S(M)=T(M)/I, где Т(М) — тензорная алгебра модуля М, I — ее идеал, порожденный элементами вида . С. а.- коммутативно-ассоциативная А-алгебра с единицей; она градуирована: где , причем S0(M)=A, S1 (М)= М. Модуль SP (М)наз. р-й симметрической степенью модуля М. Если М — свободный модуль с конечным базисом х 1, . . ., х n, то соответствие продолжается до изоморфизма алгебры S(М).на алгебру многочленов A[X1, . . ., Х п](см. Многочленов кольцо). Для любого гомоморфизма А- модулей р-я тензорная степень индуцирует гомоморфизм ( р-я симметрическая степень гомоморфизма f). Получается гомоморфизм А-алгебр S(f):S(М)S(N). Соответствия и являются соответственно ковариантными функторами из категории A-модулей в себя и в категорию А- алгебр. Для любых двух A-модулей Ми Nимеет место естественный изоморфизм . Если М — векторное пространство над полем характеристики 0, то симметрирование определяет изоморфизм С. a. S(M).на алгебру симметрических контравариантных тензоров на Мотносительно симметрич. умножения: Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы, пер. с франц., М., 1965; [2] Кострикин А. И., Манин Ю. И., Линейная алгебра и геометрия, М., 1980. А. Л. Онищик.