Сферическая Гармоника

Степени k — сужение однородного гармонического многочлена h(k) (х)степени kот ппеременных х= (х 1..... х n )на единичной сфере Sn-1 евклидова пространства Е п, Bчастности, при п=3 С. г. — это классич. сферические функции. Пусть Основным свойством С. г. является свойство ортогональности: если и — С. г. соответственно степеней kи l, причем то Простейшими С. г. являются зональные сферические гармоники. Для любого и любого k>0 существует зональная С. г. постоянная на любой параллели сферы Sn-1,ортогональной вектору t'. Зональные С. г. лишь постоянным множителем отличаются от Лежандра многочленов при п=3 или от ультрасферических многочленов при n>3: где многочлены определяются при через производящую функцию Многочлены k= 0, 1, . . ., ортогональны свесом и образуют ортогональный базис пространства Если f( х') — функция из пространства L2(Sn-1), причем то существует единственный набор С. г. Y(k) такой, что причем ряд сходится по норме L2(Sn-1). Разложения по С. г. во многом аналогичны разложениям в ряды Фурье, обобщением к-рых они в сущности являются. Однородные гармонические многочлены h(k) (х)иногда наз. пространственными С. г. В силу однородности в связи с чем С. г. иногда наз. также поверхностными С. г. Лит.:[1] Морс Ф. М., Фешбах Г., Методы теоретической физики, пер. с англ., т. 1-2, М., 1960; [2] Стейн И., Вейс Г., Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах, пер. с англ., М., 1974. Е. Д. Соломенцев.