Сфера
Множество Sn точек хевклидова пространства En+1, находящихся от нек-рой точки х 0 (центр С.) на постоянном расстоянии R (радиус С.), т. е. С. S0 — пара точек, С. S1 — это окружность, С. Sn при n>2 иногда наз. гиперсферой. Объем С. Sn (длина при п=1, поверхность при n=2) вычисляется по формуле в частности, Уравнение С. Sn в декартовых прямоугольных координатах в Е n+1 имеет вид (здесь — координаты х, х0 соответственно), т. е. С.- (гипер)квадрика, или поверхность второго порядка специального вида. Положение какой-либо точки в пространстве относительно С. характеризуется степенью точки. Совокупность всех С., относительно к-рых данная точка имеет одинаковую степень, составляет сеть С. Совокупность всех С., относительно к-рых точки нек-рой прямой (радикальной оси) имеют одинаковую степень (различную для различных точек), составляет связку С. Совокупность всех С., относительно к-рых точки нек-рой плоскости (радикальной плоскости) имеют одинаковую степень (различную для разных точек), составляет пучок С. С точки зрения дифференциальной геометрии, С. Sn -риманово пространство, имеющее постоянную (гауссову при n=2 и риманову при n>2) кривизну Все геодезич. линии С. замкнутьь и имеют постоянную длину — это т. н. большие окружности, т. 2. В общем случае — для любых kи п, k>n, группы не вычислены ( см. Сфер гомотопические группы). И здесь понятие С. получает обобщение. Напр., дикая сфера — топологич. С. (см. ниже) в Е п+1, не ограничивающая области, гомеоморфной Е п+1; Милнора сфера (экзотическая С.) — многообразие, гомеоморфное, но не диффеоморфное Sn. Топологич. пространство, гомеоморфное С., наз. топологической сферой. Одним из основных здесь является вопрос об условиях того, что нек-рое пространство является топологич. сферой. Примеры. а) Инвариантная топологич. характеристика С. Sn при n>2 не известна (1984). О случае п=1 см. Одномерное многообразие. Для того чтобы континуум был гомеоморфен С. S2, необходимо и достаточно, чтобы он был локально связан, содержал хотя бы одну простую замкнутую линию и чтобы всякая лежащая на нем такая линия разбивала его на две области, имеющие эту линию своей общей границей (теорема Уайлдера). б) Полное односвязное риманово пространство размерности кривизна к-рого для всех касательных двумерных плоскостей -ограничена с т. е. гомеоморфно Sn (теорема о сферe, см. Риманова геометрия). в) Односвязное замкнутое гладкое многообразие, (целые) гомологии к-рого совпадают с гомологиями Sn, гомеоморфно Sn при (при п =3 — неизвестно (1984)). Если n = 5, 6, то оно также и гомеоморфно Sn (обобщенная гипотеза Пуанкаре), при n=3, 4 гипотеза остается (1984), при диффеоморфизм не имеет места. Совершенно аналогично определяется С. Sв метрич. пространстве Однако это множество, вообще говоря, может быть устроено достаточно сложно (или может быть пустым). В нормированном пространстве Кс нормой С. наз. множество это, по существу, произвольная, вообще говоря, бесконечномерная выпуклая (гипер)поверхность, не всегда обладающая, напр., гладкостью, округлостью и т. п. полезными свойствами обычной С. Один из вариантов, применяющихся в топологии, — т. н. бесконечномерная сфера — строгий индуктивный предел последовательности вложенных сфер: другое определение: где — бесконечномерное Штифеля многообразие. Для любого i оказывается, что Приложения понятия С. чрезвычайно разнообразны. Напр., С. участвует в конструкциях новых пространств или дополнительных структур на них. Так, напр., проективное пространство можно интерпретировать как С. Sn с отождествленными диаметрально противоположными точками; С. с ручками и дырами используется в ручек теории;см. также Когомотопическая группа, Сферическое отображение. Лит.:[1] Розейфельд Б. А., Многомерные пространства, М., 1966; [2] его же. Неевклидовы пространства, М., 1969; [3]Лени П., Конкретные проблемы функционального анализа, пер. с франц., М, 19.67; [4] Введение в топологию, М., 1980; [5] Буземан Г., Геометрия геодезических, пер. с англ., М., 1962. И. С. Шарадзе.