Шевалле Группа

Линейная алгебраич. группа над нек-рым полем, связанная с полупростой комплексной алгеброй Ли. Пусть -Ли полупростая алгебра над -ее подалгебра Картана, -система корней алгебры относительно -система простых корней, -базис Шевалле алгебры — его линейная оболочка над И пусть -точное представление алгебры Ли в конечномерном векторном пространстве V. Оказывается, что в . существует решетка (т. е. свободная абелева подгруппа, базис к-рой является базисом пространства V), инвариантная относительно всех операторов m-натуральное число). Если k- произвольное поле и то определены гомоморфизмы заданные формулами Подгруппы порождают в GL (Vk) нек-рую подгруппу Gk, к-рая и наз. группой Шевалле, связанной с алгеброй Ли представлением полем k. В случае, когда (присоединенное представление), Ш. г. были определены К. Шевалле (С. Chevalley) в 1955 (см. [1]). Если К — алгебраически замкнутое поле, содержащее k, то Ш. г. С K есть связная полупростая линейная алгебраич. группа над К. определенная и разложимая над простым подполем Ее алгебра Ли изоморфна Группа Gk является коммутантом группы GK(k) точек группы GK, рациональных над k. Любая связная полупростая линейная алгебраич. группа над K изоморфна одной из Ш. г. Алгебраич. группы GK (и Gk как абстрактные группы) зависят лишь от решетки порожденной весами представления Если Г j совпадает с решеткой корней Г 0, то GK наз. присоединенной группой, а еели =Г 1 (решетка весов, см. Ли полупростая группа), то GK наз. универсальной, или односвяаной, группой. Если GK- универсальна, то Gk = GK(k). Ш. г. GK всегда совпадает со своим коммутантом. Центр группы Gk конечен. Напр., центр Zуниверсальной группы Gk изоморфен Ноm (Г 1/Г 0, k*), а соответствующая присоединенная группа изоморфна Gk/Z и имеет тривиальный центр. Если алгебра проста, то присоединенная Ш. г. Gk проста, за исключением следующих случаев: |k| =2, — алгебра Ли типов A1, B2, G2; |k|=3, -алгебра Ли типа А 1. Другие серии простых групп можно получить, рассматривая подгруппы неподвижных точек нек-рых автоморфизмов конечного порядка Ш. г. (т. н. скрученные группы). Если поле k конечно, то порядок универсальной группы Gk вычисляется по формуле где q = |k|, di(i = l, . .., r) — показатели алгебры Ли т. е. степени свободных образующих алгебры многочленов на инвариантных относительно Вейля группы, — число положительных корней. Имеется развитая теория рациональных линейных представлений Ш. г. Gk над бесконечным полем k, сводящаяся к случаю алгебраически замкнутого поля, а в последнем случае совпадающая с теорией рациональных представлений полупростых алгебраич. групп. Если проста, Gk- универсальная Ш. г. над бесконечным полем . и -нетривиальное неприводимое конечномерное представление группы Gk (как абстрактной группы) над алгебраически замкнутым полем K, то, существуют такой конечный набор вложений и такой набор рациональных представлений групп что По поводу представлений Ш. г. см. также [2], [3], [5]. Лит.:[1] Шевалле К., лМатематика