Секущих Метод

Метод вычисления нулей непрерывных функций. Пусть в [а, b] содержится нуль a непрерывной функции f(x); х0, х1 — различные точки этого отрезка. Итерационная формула С. м.: (1) Если последовательность сходится, то обязательно к нулю функции f(x). При наличии у f непрерывной производной на [а, b]локальная сходимость С. м. к простому корню будет сверхлинейной. Если усилить требования к гладкости f, можно указать точный порядок (локальной) сходимости [1]. Именно, для и a такого, что , Здесь Сверхлинейная сходимость С. м. для гладких функций — очень важное обстоятельство, поскольку вычисления производных не требуется и на каждом шаге вычисляется лишь одно новое значение функции. Так, для сравнения, в методе Ньютона, порядок (локальной) сходимости к-рого равен 2, на каждом шаге требуется вычисление значения функции и ее производной, что, как правило, не менее трудоемко, чем вычисление двух значений функции. Поскольку сходимость С. м. зависит от гладкости функции и выбора начальных приближений, в стандартных машинных подпрограммах вычисления нулей непрерывных функций этот метод комбинируется с каким-либо методом, обладающим гарантированной сходимостью, напр. методом деления отрезка пополам. На каждом шаге такого комбинированного метода корень a локализован в отрезке , на концах к-рого функция меняет знак (предполагается, что это условие выполнено для исходного отрезка [a, b]). В соответствии с нек-рым тестом очередное приближение выбирается либо по формуле (1), либо по формуле деления пополам. При этом если f (х) — гладкая функция, то итерации, начиная с нек-рого номера k0, автоматически идут по С. м. Возможна еще более сложная комбинация методов, напр. алгоритм ZEROIN (см. [2]), в к-ром, кроме упомянутых выше, используется еще метод обратной квадратичной интерполяции. Иногда С. м. называют метод с итерационной формулой (2) Другое название метода (2) — м е т о д л о ж н о г о п о л о ж е н и я, или regula falsi. Такой метод сходится лишь линейно. При обобщении С. м. на случай системы уравнений возможен двоякий взгляд на итерационную формулу (1). Можно считать, что она получена из формулы метода Ньютона дискретной аппроксимацией производной. Другая возможность — считать, что для f(x) произведена линейная интерполяция по точкам и и за взят нуль линейной интерполянты. Обе интерпретации позволяют получить большое количество многомерных аналогов С. м.; нек-рые из них (но далеко не все) имеют тот же порядок (локальной) сходимости (см. [3]). Лит.:[1] В r е n t В. P., Algorithms for minimization without derivatives, Englewood cliffs (N. J.), 1973; [2] Ф о p с а й т Дж., М а л ь к о л ь м М., M о у л е р К., Машинные методы математических вычислений, пер. с англ., М., 1980; [3] О р т е г а Дж., Р е й н б о л д т В., Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными, пер. с англ., М., 1975. X. Д. Икрамов.