Счисление

Нумерация,- совокупность приемов представления натуральных чисел. В любой системе счисления (с. с.) нек-рые символы (слова или знаки) служат для обозначения определенных чисел, наз. узловыми, остальные числа (алгоритмические) получаются в результате каких-либо операций из узловых чисел. С. с. различаются выбором узловых чисел и способами образования алгоритмических, а с появлением письменных обозначений числовых символов с. с. стали различаться характером числовых знаков и принципами их записи. Напр., у древних вавилонян узловыми являлись числа 1, 10, 60; у маори (коренных жителей Новой Зеландии) узловыми являлись числа 1, 11, 112, 113. В римской с. с. узловыми являются числа 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, обозначаемые соответственно знаками I, V, X, L, С, D, М. С. с., в к-рых алгоритмич. числа образуются сложением узловых, наз. аддитивным и. Так, в древнеегипетской (иероглифической) с. с. числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 19, 40 обозначались соответственно символами Те же числа в римской с. с. обозначаются следующим образом: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XIX, XL. В этой с. с. алгоритмич. числа получаются путем сложения и вычитания узловых. В числительных русского языка отчетливо выражен аддитивно-мультипликативный способ образования алгоритмич. чисел, напр. триста пятьдесят семь. В нек-рых с. с., наз. алфавитными, числа обозначались теми же знаками, что и буквы. Так, древние греки числа от 1 до 9, а также все десятки и сотни обозначали при помощи последовательных букв алфавита, снабженных черточками. К примеру, числа 803, 833 и 83 записывались так: Алфавитные изображения чисел употребляли славяне и многие другие народы. С. с. наз. непозиционной, если каждый числовой знак в записи любого числа в ней имеет одно и то же значение. Если же значение числового знака зависит от его расположения в записи числа, то система наз. позиционной. Римская с. с. — непозиционная. Любое число в вавилонской с. с. записывалось при помощи комбинации двух знаков: вертикального клина и углового клина (пример см. ниже). Эти знаки объединялись в группы от одного до девяти в случае вертикальных клиньев и от одного до пяти в случае угловых клиньев. Вертикальный клин мог обозначать единицу и любую степень числа 60, а угловой клин — 10 и произведение 10 на любую степень числа 60. Порядок следования разрядов чисел совпадал с ныно принятым. Так, В связи с тем, что в вавилонской С. с. отсутствовал знак для пропуска разряда, соответствующий нашему нулю, запись числа не гарантировала однозначность ее прочтения. Точный смысл записи обычно устанавливался из контекста рукописи. Поэтому описанную с. с. принято называть неабсолютно позиционной. Позднее в древнем Вавилоне стали употреблять специальный знак для пропуска разряда. Современная десятичная с. с.- позиционная. Все известные позиционные с. с.- аддитивно-мультипликативные системы. Позиционный принцип записи чисел в таких системах оправдывается следующей теоремой элементарной теории чисел. Пусть q0=1 и q1, q2, ... — последовательность отличных от единицы натуральных чисел. Тогда для любого натурального числа аможно найти одно и только одно натуральное число я, для к-рого уравнение имеет решение в целых числах а 0, a1, . . ., an-1 таких, что При этом уравнению (1) удовлетворяет только один упорядоченный набор (кортеж) целых чисел с условием (2). В вавилонской с. с. q1=10, q2=6, q3=10, q6=6,... и т. д. У индейцев племени майя q1=5, q2=4, q3=18, q4=q5=....=20. С. с., в к-рой все члены упомянутой в теореме последовательности q1, . . ., qn равны одному и тому же числу q и в к-рой каждое из чисел от 0 до q-1 обозначается определенным символом, наз. q-ичной с. с. или позиционной с. с. с основанием q. В q-ичной с. с. каждое натуральное число обозначается кортежем из указанных символов. Для выполнения сложения и умножения чисел, записанных в q-ичной с. с., достаточно иметь таблицы сложения и умножения для всех чисел от 0 до q-1. Лит.:[1] Башмакова И. Г., Юшкевич А. П., Происхождение систем счисления, в кн.: Энциклопедия элементарной математики, кн. 1, М.-Л., 1951, с. 11-74; [2] Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука, пер. с голл., М., 1959; [3] Юшкевич А. П., История математики в ср. века, М., 1961; [4] Вайман А. А., Шумеро-вавилонская математика, М., 1961; [5] История математики, т. 1, М., 1970. В. И. Нечаев.