Рунге Теорема

Теорема о возможности полиномиальных приближений голоморфных функций, впервые доказанная К. Рунге (С. Runge, 1885). Пусть D — односвязная область на плоскости комплексного переменного z. Тогда всякая функция f, голоморфная в D, приближается равномерно внутри Dмногочленами от z. Точнее, для любого компакта и любого e > 0 найдется многочлен р(z) с комплексными коэффициентами такой, что для всех . В иной формулировке: любая функция f, голоморфная в односвязной области , представляется в виде ряда из многочленов от z, абсолютно и равномерно сходящегося к f внутри D. Эквивалентная формулировка Р. т.: пусть K — компакт на комплексной плоскости со связным дополнением ; тогда всякая функция, голоморфная в окрестности K, равномерно на Kприближается многочленами от z. В такой форме Р. т. есть частный случай Мергеляна теоремы. Р. т. наз. также следующая теорема о рациональных приближениях: всякая функция f, голоморфная в области , равномерно внутри Dприближается рациональными функциями с полюсами вне D. Р. т. имеет многочисленные применения в теории функций комплексного переменного и в функциональном анализе. Аналог Р. т. справедлив на некомпактных римановых поверхностях. Обобщением Р. т. для функций многих комплексных переменных является теорема Ока — Вейля (см. Ока теоремы). Лит.:[1] М а р к у ш е в и ч А. И., Краткий курс теории аналитических функций, 4 изд., М., 1978; [2] Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 1, М., 1976. Е. М. Чирка.