Ручек Теория

Один из методов изучения топологич. многообразий, основанный на представлении многообразия в виде объединения топологич. шаров с непересекающимися внутренностями и специальным образом пересекающимися краями. Пусть М n есть n-мерное многообразие, k- такое целое число, что , и пусть топологич. шар H является образом гомеоморфного отображения , где В т обозначает стандартный m-мерный шар с центром в точке О. Тогда пара (H, h)(или просто H) наз. р у ч к о й и н д е к с а kв многообразии М п. Гомеоморфизм hназ. характеристическим отображением ручки H, диск — срединным, а диск — секущим. Сфера наз. приклеивающей (или п о д о ш в е н н о й) сферой, а сфера — секущей. Пространство наз. п о д о ш в о й р у ч к и H. Если многообразие М n кусочно линейно, то имеет смысл говорить о кусочно линейных ручках, имея в виду кусочную линейность характеристич. отображения. Точно также в случае гладкого многообразия М n можно говорить о гладких ручках. Пусть (H, h)- ручка индекса kв многообразии М n, Р — ее подошва и — такое подмногообразие М п, что . Операция перехода от многообразия к многообразию наз. операцией приклеивания ручки индекса k. Вложение наз. п р и к л е и в а ю щ и м о т о б р а ж е н и е м. С точностью до неподвижного на гомеоморфизма многообразие полностью определяется приклеивающим отображением f и не зависит от объемлющего многообразия М. Если f — произвольное вложение , то результат приклеивания ручки по вложению f можно описать так: , где отношение эквивалентности порождено отождествлением точек по вложению f. Операция перехода от к наз. сферической перестройкой. По аналогии с этим приклеивание ручек наз. иногда п р и с т р о й к а м и. Многообразия, получающиеся приклеиванием ручки по изотопным вложениям, гомеоморфны. На рис. 1 изображено приклеивание трехмерных ручек индексов 1 и 2. Приклеивание к ручки индекса 0 состоит в добавлении к отдельно взятого шара размерности п. Добавление ручки индекса пзаключается в заклеивании n-мерным шаром одной из компонент . Если многообразие и приклеивающее вложение кусочно линейны, то многообразие , получающееся приклеиванием ручки по вложению f, также кусочно линейно. В случае гладких и f многообразие обладает естественной гладкой структурой во всех точках, кроме "угловых" точек, объединение к-рых совпадает с краем подошвы ручки. Эту структуру можно единственным образом продолжить до гладкой структуры на всем . Такое продолжение наз. сглаживанием углов. В гладком случае операцию сглаживания углов включают в операцию приклеивания ручки. Приклеивание гладкой ручки полностью определяется приклеивающей сферой вместе с тривиализацией ее нормального расслоения. Представление компактного многообразия М п в виде объединения конечного упорядоченного семейства ручек в М n наз. р а з л о ж е н и е м М n н а р у ч к и, если каждая следующая ручка пересекается с объединением предыдущих в точности по своей подошве. Другими словами, М п допускает разложение на ручки, если его можно получить из шара (или из пустого множества) последовательным приклеиванием ручек. Аналогично, под разложением пары , где — подмногообразие многообразия М n, понимается представление М n в виде результата последовательных приклеиваний ручек к . В частности, разложением бордизма (W, М0, М1 )н а р у ч к и наз. разложение пары , где — воротник М 0. Разложение на ручки некомпактного многообразия М n состоит из бесконечного числа ручек. При этом обычно требуется, чтобы разложение было локально конечным, т. е. чтобы каждый компакт в М п пересекался только с конечным числом ручек. Применяя приведение в общее положение секущих сфер уже приклеенных ручек и подошвенной сферы приклеиваемой ручки и заменяя приклеивающие отображения на изотопные, можно добиться, чтобы ручки одного индекса не пересекались и чтобы индексы последовательно приклеиваемых ручек не убывали. Такое разложение на ручки наз. правильным. Каждое кусочно линейное многообразие раскладывается на кусочно линейные ручки., Если Т — триангуляция М n и Т" — ее второе барицентрическое подразделение, то в качестве ручек индекса kможно взять замкнутые звезды в Т" барицентров k-мерных симплексов Т(см. рис. 2; определение звезды дано в ст. Комплекс). Существует тесная связь между разложениями гладкого многообразия М n на гладкие ручки и гладкими функциями на М n с невырожденными критич. точками — Морса функциями. Эта связь заключается в следующем. Пусть х 0 — такая критич. точка индекса k функции Морса , что для нек-рого e > 0 в прообразе отрезка [f(x0)-e, f(x0) + e] нет других критич. точек, и пусть . Тогда многообразие получается из многообразия приклеиванием гладкой ручки индекса k. Таким образом, каждая функция Морса на компактном многообразии М п порождает разложение М n па гладкие ручки, причем число ручек индекса kв этом разложении совпадает с числом критич. точек индекса k. Этим доказывается существование разложения любого гладкого многообразия на гладкие ручки. Обратно, каждое разложение М п на гладкие ручки порождено нек-рой функцией Морса на М n. Сложнее обстоит дело с разложением на ручки топологич. многообразий. Известно, что любое замкнутое топологич. многообразие размерности раскладывается на топологич. ручки. Многообразия размерности комбинаторно триангулируемы и поэтому раскладываются на ручки. Доказано, что существует многообразие размерности 4, не допускающее разложения на ручки. Если в правильном разложении на ручки многообразия М n последовательно стянуть все ручки на их срединные диски, то получится клеточное пространство K. Каждой ручке индекса kв разложении М п отвечает k-мерная клетка в клеточном разбиении пространства K. Пространство Kимеет тот же гомотопический тип, что и М n. В случае замкнутого М n пространство Kсовпадает с М n. Из определения ручки следует, что каждая n-мерная ручка Ниндекса kявляется одновременно ручкой индекса п-k. Если — подошва H как ручки индекса k,a — подошва Нкак ручки индекса п-k, то и Каждое разложение замкнутого многообразия Mn на ручки порождает т. н. двойственное разложение М п на ручки. Двойственное разложение состоит из взятых в обратном порядке ручек исходного разложения, причем каждая ручка индекса kсчитается уже ручкой индекса п-k. Этот факт служит геометрич. основой Пуанкаре двойственности. Если многообразие М n имеет край, то двойственное разложение можно рассматривать как разложение пары . Пусть H1, Н2 — непересекающиеся ручки индекса k, приклеенные к многообразию М n с односвязным краем по вложениям . Пусть и , а [f] обозначает элемент группы , определяемый отображением f. Тогда вложение f2 изотопно в такому вложению , что [f'2] = [f1]+[f2]. Это означает, что многообразия и , где Н'2 — ручка, приклеенная по вложению. f'2, гомеоморфны. Операция перехода от многообразия к многообразию наз. сложением ручек. Пусть многообразие получено из многообразия последовательным приклеиванием ручки Н 1 индекса k и ручки Н 2 индекса k+1 так, что подошвенная сфера ручки Н 2 трансверсально пересекает секущую сферу ручки Н 1 ровно в одной точке. Тогда эту пару ручек можно устранить. Это означает, что существует гомеоморфизм на , неподвижный вне окрестности . Операция устранения иногда наз. сокращением дополнительных ручек. Сложение ручек и сокращение ручек можно производить, оставаясь в рамках кусочно линейной или гладкой категории. С помощью сокращения ручек индексов 0 и 1 можно, напр., любое разложение на ручки связного компактного многообразия М n заменить на разложение с ровно одной ручкой индекса 0. Если М п односвяяно и п> 5, то, складывая и сокращая ручки, можно любое разложение на ручки свести к разложению с минимальным числом ручек, совместимым с гомологич. структурой М п. Пусть ( Н, h) — топологич. ручка индекса kв кусочно линейном многообразии М n, причем характеристич. отображение hкусочно линейно в окрестности . Существует ли неподвижная на окрестности изотопия отображения h, выпрямляющая ручку Н, т. е. переводящая ее в кусочно линейную ручку? Если бы ответ на этот вопрос был всегда положительным, то на каждом топологич. многообразии можно было бы ввести кусочно линейную структуру, согласовывая структуры на координатных окрестностях с помощью выпрямления кусочно линейных ручек одной окрестности внутри другой. На самом деле ответ зависит от индекса kи размерности пручки Н. Если или и , то любая ручка выпрямляема. Известно, что при существуют невыпрямляемые ручки индекса 3, причем препятствие к выпрямлению лежит в группе . В размерности 4 ручки индексов 0 и 1 выпрямляемы, а индексов 2 и 3, вообще говоря, нет. Препятствием к сглаживанию кусочно линейных ручек служат т. н. группы Милнора Лит.: [1] С м е й л С., "Математика", 1962, т. 6, № 3, с. 138-55; [2] е г о ж е, там же, 1964, т. 8, № 4, с. 95-108; [3] е г о ж е, "Успехи матем. наук", 1964, т. 19, в. 1, с. 125-38; [4] К i r b у R. С., S i e b e n m a n n L. С., "Ann. Math. Stud.", 1977, № 88; [5] Р у р к К., С а н д е р с о н Б., Введение в кусочно линейную топологию, пер, с англ., М., 1974; [6] Р о х л и н В. А., Ф у к с Д. Б., Начальный курс топологии. Геометрические главы, М., 1977. С. В. Матвеев.