Рисса Теорема Выпуклости

Логарифм In М(a, b) точной верхней грани модуля М(a, b) билинейной формы на множестве (если a=0 или b=0, то соответственно , тили ) является выпуклой функцией от параметров a и b в области , если форма действительна , и в области , если форма комплексна . Эта теорема была доказана М. Риссом [1]. Обобщение Р. т. в. на линейные операторы (см. [3]): пусть ,- совокупность всех комплексозначных суммируемых в р-й степени при и существенно ограниченных при функций на нек-ром пространстве с мерой; пусть, далее,,- линейный непрерывный оператор; тогда Тявляется непрерывным оператором из в , где и норма kt оператора Т(как оператора из в ) удовлетворяет неравенству (т. е. является логарифмически выпуклой функцией). Эту теорему наз. т е о р е м о й Р и с с а — Т о р и н а об интерполяции, но иногда т е о р е м о й в ы п у к л о с т и Р и с с а [4]. Р. т. в. явилась отправным пунктом для целого направления в анализе, где изучаются интерполяционные свойства линейных операторов. Среди первых из обобщений Р. т. в.- т е о р е м а М а р ц и н к е в и ч а об интерполяции [5], к-рая гарантирует при , непрерывность оператора , при более слабых предположениях, чем в теореме Рисса — Торина. См. также Интерполирование операторов. Лит.:[1] R i е s z М., "Acta math.", 1926, v. 49, p. 465 — 97; [2] X а р д и Г., Л и т т л ь в у д Д., П о л и а Г., Неравенства, пер. с англ., М., 1948; [3] T h o r i n G., "Comm. Sem. Math. Univ. Lund.", 1939, v. 4, p. 1-5; [4] С т е й н И., В е й с Г., Введение н гармонический анализ на евклидовых пространствах, пер. с англ., М., 1974; [5] М а r с i n k i e w i с z J., "С. r. Acad. Sci.", 1939, t. 208, p. 1272-73; [6] К р е й н С. Г., П е т у н и н Ю. И., С е м е н о в Е. М., Интерполяция линейных операторов, М., 1978; [7] Т r i e b e 1 Н., Interpolation theory, В., 1978. В. М. Тихомиров.