Рисса Система

Понятие теории ортогональных систем Пусть фиксирована в пространстве L2=L2 ( а,b )полная система функций . Ее считают нормированной или, более общо, почти нормированной, т. е. допускают наличие чисел m> 0 и М >0, при к-рых для всех . Ослабляя требования ортогональности системы , предполагают, что существует полная в L2 система функций и такая, что (yn, gn)=1, (yn, gm)=0 Для всех . В частном случае, когда система ортонормирована, gn-^tyn для всех " . Если ряд сходится в L2 к функции f, то а п=(f, gn )при всех . Поэтому имеет смысл называть число а n= (f, gn) n- коэффициентом Фурье функции f по системе . В доказательстве ряда теорем теории ортогональных рядов играют важную роль неравенство Бесселя и теорема Рисса-Фишера. В общем случае эти теоремы не верны, и поэтому приходится выделять специальный класс Р. с. с помощью следующих требований к системе . 1) Для любой функции f сходится ряд из квадратов коэффициентов Фурье, т. е. 2) Для любой последовательности чисел существует функция f, имеющая числа а п своими n-коэффициентами Фурье по системе , то есть а п=(f,gn )Для всех . Первое требование к системе заменяет неравенство Бесселя, второе — теорему Рисса — Фишера. Н. К. Бари доказала (см. [2]), что система есть Р. с. тогда и только тогда, когда существует линейный непрерывный обратимый в L2 оператор Атакой, что система функций является полной и ортонормированной. Поэтому Р. с. наз. также базисом Рисса, эквивалентным ортонормированному. Н. К. Бари указала удобный критерий для Р. с. Полная в L2 система функций является Р. с. тогда и только тогда, когда матрица Грама определяет линейный непрерывный обратимый оператор в l2. Если в Р. с. переставить произвольно члены, то получится Р. с. Обратно, если базис в L2 остается базисом после любой перестановки его членов, то, нормируя его, получают Р. с. Естественное обобщение Р. с. получают, если заменить L2 на замыкание линейной оболочки системы по норме того гильбертова пространства, из к-рого взяты элементы yn (см. [4]). Лит.:[1] Б а р и Н. К., "Докл. АН СССР", 1946, т. 54, с. 383-86; [2] е е ж е, "Уч. зап. МГУ", 1951, в. 148, № 4, с. 69-107; [3] Г о х б е р г И. Ц., К р е й н М. Г., Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, М., 1965; [4] Г а п о ш к и н В. Ф., "Успехи матем. наук", 1966, т. 21, в. 6, с. 3-82. В. Ф. Емельянов.