Рисса Пространство

В е к т о р н а я решетка,- вещественное частично упорядоченное векторное пространство X, в к-ром 1) структуры векторного пространства и упорядоченного множества согласованы, т. е. из х, у,и х< уследует x+z< у + z и из , х >0, ,l> 0 следует lх> 0; 2) для любых двух элементов х, у существует sup ( х, у). В частности, существуют sup и inf любого конечного множества. В отечественной литературе Р. п. обычно наз. K- линеалами. Впервые такие пространства были введены Ф. Риссом (F. Riesz, 1928). Примером Р. п. может служить пространство С[ а, b]действительных непрерывных на С[ а, b] функций с поточечным упорядочением. Для любого элемента x. Р..п. определяются и . При этом оказывается, что . В Р. п. вводятся два вида сходимости последовательности . П о р я д к о в а я с х о д и м о с т ь, о-с х о д и м о с т ь: . если существует монотонно возрастающая последовательность и монотонно убывающая последовательность такие, что и . Относительно р а в н о м е р н а я с х о д и м о с т ь, r-с х о д и м о с т ь: , если существует элемент и> 0 такой, что для любого e > 0 существует n0 такое, что при (r-сходимость наз. также с х о д и м о с т ь ю с р е г у л я т о р о м). Понятия о- и r-сходимости обладают многими обычными свойствами сходимости числовых последовательностей и естественным образом распространяются на направления . Р п наз. а р х и м е д о в ы м, если из и для n=1,2,. . . следует . В архимедовом P. п. из и следует и из r-сходимости следует о-сходимость. Лит.: [1] R i е s zF, в кн.: Atti del Congr. Int. dei Math., v. 3 Bologna, 1930, p. 143-48, [2] L u x е m b u r g W., Z a a n e n A., Rieszspaces, v. 1, Amst.-L., 1971. [3] В у л и х Б. З., Введение в теорию полуупорядоченных пространств, М., 1961. В. И. Соболев.