Риманово Пространство Однородное

Риманово пространство ( М,g) вместе с транзитивной эффективной группой Gего движений. Пусть K — стационарная подгруппа фиксированной точки Тогда многообразие Мотождествляется с факторпространством G/K с помощью биекции , а риманова метрика g рассматривается как G-инвариантная метрика на G/K. Обычно предполагается дополнительно, что группа G замкнута в полной группе движений. В этом случае стационарная подгруппа Kкомпактна . Пусть K — компактная подгруппа группы Ли G, не содержащая нормальных делителей группы G. Тогда однородное пространство М=G/K допускает инвариантную риманову метрику g, к-рая определяется следующим образом. Пусть — редуктивная структура в M, т. е. разложение алгебры Ли группы Ли Gв прямую сумму алгебры Ли группы Kи подпространства , инвариантного относительно присоединенного представления Ad Kгруппы Kв пространстве . Пространство естественным образом отождествляется с касательным пространством точки o= еK, а представление изотропии группы Kв Т 0 М — с представлением . Любая G-инвариантная риманова метрика g на M получается из нек-рого Ad K- инвариантного скалярного произведения g0 в разнесением с помощью преобразований из G: Существование такого скалярного произведения следует из компактности группы изотропии Любое Р. п. о., локально изометричное односвязному Р. п. о. М, получается из Мфакторизацией по произвольной дискретной группе изометрий Клиффорда — Вольфа (т. е. движений многообразия М, перемещающих все точки на одинаковые расстояния [2]). Наиболее изученными классами Р. п. о. являются римановы симметрич. пространства, однородные кэлеровы пространства и однородные кватернионные пространства, изотропно неприводимые Р. п. о. (классифицированы в [9], [10]), нормальные Р. п. о., в к-рых скалярное произведение g0 в продолжается до невырожденной симметрической Ad G-инвариантной билинейной формы на , естественно редуктивные Р. п. о., характеризуемые тем, что в них любая геодезическая является траекторией однопараметрич. группы движений. Изучена структура Р. п. о. с различными условиями на тензор кривизны. Напр., известна классификация Р. п. о. положительной секционной кривизны [5]. Описана структура просто транзитивных групп движений Р. п. о. неположительной кривизны [8], неотрицательной кривизны и неотрицательной кривизны Риччи [4]. Р. п. о. с разрешимой группой движений Gвсегда имеет неположительную скалярную кривизну sk, и случай sk=0 возможен только для локально евклидова пространства. Любая инвариантная риманова метрика на односвязном Р. п. о. G/Kимеет неположительную скалярную кривизну тогда и только тогда, когда Kесть максимальная компактная подгруппа группы G(см. [4]). Р. п. о. ( М,g) наз. э й н ш т е й н о в ы м, если его тензор Риччи r пропорционален метрике: r=l,g, l=const. Проблема описания эйнштейновых Р. п. о. не решена (1983). Известен ряд частных результатов. Пусть ( М=С/K,g) — эйнштейново Р. п. о. со скалярной кривизной sk. 1) Если sk>0, то многообразие Мкомпактно. Описаны все такие пространства: а) если ( М,g) — кватернионное пространство, б) если Мдиффеоморфно симметрич. пространству ранга один, в) для нек-рого класса естественно редуктивных Р. п. о. (см. [7]) и для изотропно неприводимых Р. п. о. (см. [10]). 2) Если sk-0, то Месть локально евклидово пространство. 3) Если sk<0 и группа Gунимодулярна (т. е. определитель операторов ее присоединенного представления равен 1), то группа G полупроста. Лит.:[1] К о б а я с и Ш., Н о м и д з у К., Основы дифференциальной геометрии, пер. с англ., т. 2, М., 1981; [2] В о л ь ф Дж., Пространства постоянной кривизны, пер. с англ., М., 1982; [3] X е л г а с о н С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964; [4] В e.r а r d В е g e r у L., "Ann. sci Еc. norm, sup.", 1978, t. 11, № 4, p. 543-76; [5] е г ож е,"J. Math, pures et appl.", 1976, t. 55, p. 47-67; [6] J e n s e n G. R., "J. Dif. Geom.", 1973, v. 8, p. 599-614; [7] D' A t r i J. E., Z i 11 e г W., "Mem. Amer. Math. Soc.", 1979, v. 18, p. 1-72; [8] A z e n c o t t R., W i l s o n E. N., там же, 1976, v. 8, p. 1 — 102; [9] М а н т у р о в О. В.. "Тр. сем. по вект. и тенз. анализу", 1966, т. 13, 68-145; [10] W о 1 f J., "Acta math.", 1968, v. 120, p. 59-148. Д. В. Алексеевский.