Римана — Роха Теорема

Теорема, позволяющая выразить эйлерову характеристику c(Е). локально свободного пучка Ена алгебраическом или аналитич. многообразии Xв терминах характеристич. классов Чжэня пучка Еи многообразия X. Она может быть применена для вычисления размерности пространства сечений пучка Е(п р о б л е м а Р и м а н а — Р о х а). Классическая Р.- Р. т. относится к случаю неособых алгебраич. кривых Xи утверждает, что для любого дивизора Dна X (*) где l(D) = dim H0(X, OX(D)) — размерность пространства функций , для к-рых — канонич. дивизор, a g — род кривой X. В сер. 19 в. Б. Риман (В. Riemann) аналитич. методами получил неравенство Равенство (*) было доказано Э. Рохом (Е. Roch). Р.- Р. т. для кривых представляет собой одномерный случай более общей теоремы Римана — Роха — Хирцебруха — Гротендика. Пусть X — неособое проективное многообразие размерности — подходящая теория когомологий: либо — сингулярные когомологии в случае, когда основное поле , либо , где А(X) — Чжоу кольца, либо — кольцо, присоединенное к кольцу Гротендика К 0 (Х)(см. K-функтор в алгебраической геометрии) относительно нек-рой специальной g-фильтрации (см. [2], [7]). Пусть Е- локально свободный пучок ранга r на X. Для пучка Еследующим образом определяются универсальные многочлены с рациональными коэффициентами ch (-) и td (-) от классов Чжэня пучка Е. Для многочлена Чжэня рассматривается разложение на множители где ai — формальные символы. Экспоненциальный характер Чжэня определяется формулой и, соответственно, класс Тодда ch (E) и td (Е) — симметрич. функции от а i, и их можно записать в виде многочленов от с i Е). Т е о р е м а Р и м а н а — Р о х а — Х и р ц е б р у х а: если X — неособое проективное многообразие или компактное комплексное многообразие размерности n, Е — векторное расслоение ранга r на X, то где TX — касательный пучок на X,adeg( )n обозначает компоненту степени n в . Эта теорема была доказана Ф. Хирцебрухом (F. Hirzebruch) в случае основного поля . В случае n= 2 и обратимого пучка она приводит к равенству где c2=с 2 (X) -2-й класс Чжэня поверхности X, а KX — ее канонич. класс. В частности, при D =0получается ф о р м у л а Н ё т е р а Для трехмерных многообразий (n=3) теорема приводит к равенству В частности, при D=0 В 1957 А. Гротендик (A. Grothendieck) обобщил теорему Римана — Роха — Хирцебруха на случай морфизмов неособых многообразий над произвольным алгебраически замкнутым полем (см, [1]). Пусть K0 Хи K0 Х — группы Гротендика соответственно когерентных и локальных свободных пучков на X. Функтор K0 Хявляется ковариантным функтором из категории схем и собственных морфизмов в категорию абелевых групп, при этом для собственного морфизма гомоморфизм определяется формулой где -произвольный когерентный пучок на X; K0 Х — контравариантный функтор в категорию колец. Для регулярных схем с обильным пучком группы K0 Хи K0 Хсовпадают и обозначаются K(Х). Характер Чжэня ch : является гомоморфизмом колец; также является ковариантным функтором: определен . гомоморфизм Гизина В случае, когда , гомоморфизм f* получается из f* для гомологий с помощью двойственности Пуанкаре. Обобщенная А. Гротендиком теорема выражает меру отклонения от коммутативности гомоморфизмов и ch. Т е о р е м а Р и м а н а — Р о х а — Х и р ц е б р ух а — Г р о т е н д и к а: пусть — гладкий проективный морфизм неособых проективных многообразий; тогда для любого справедливо равенство где (относительный касательный п у ч о к м о р ф и з м а f). В случае, когда Y — точка, эта теорема сводится к теореме Римана — Роха — Хирцебруха. Имеются обобщения (см. [5]-[7]) на случаи, когда Y — нётерова схема, обладающая обильным обратимым пучком, когда f — проективный морфизм, слои к-рого — локально полные пересечения, а также на особые квазипроективные многообразия. Нек-рые варианты Р.- Р. т. тесно связаны с проблемой индекса эллиптич. операторов (см. Индекса формулы). Напр., теорема Римана — Роха — Хирцебруха для компактных комплексных многообразий является частным случаем теоремы Атьи — Зингера об индексе. Лит.:.[1] Б о р е л ь А., С е р р Ж.-П., "Математика", 1961, т. 5, № 5, с. 17-54; [2] М а н и н Ю. И., "Успехи матем. наук", 1969, т. 24, в. 5, с. 3-86; [3] X а р т с х о р н Р., Алгебраическая геометрия, пер. с англ., М., 1981; [4] X и р ц е б р у х Ф., Топологические методы в алгебраической геометрии, пер. с англ., М., 1973; И В a u m P., F u I t о n W., М а c, Р h e r s o n R., "Рubl. Math. IHES", 1975, №45, p. 101-45; [6] и х ж е, "Acta math.", 1979, v. 143, № 3-4, p. 155-92; [7] Theorie des intersections et theoreme de Riemann- Rосh (SGA, A6), В.- [е. a.], 1971. Вал. С. Куликов.