Риккати Уравнение

Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка вида (1) где а, b, a — постоянные. Впервые это уравнение исследовал Я. Риккати (1723, см. [1]); отдельные частные случаи рассматривались раньше. Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1724-25) установил, что уравнение (1) интегрируется в элементарных функциях, если a= -2 или a=-4k(2k-1), где k — целое число. Ж. Лиувилль (J . Liouville, 1841) доказал, что при других значениях a решение уравнения (1) нельзя выразить в квадратурах от элементарных функций. Общее решение уравнения (1) может быть записано с помощью цилиндрических функций (см. [1]). Дифференциальное уравнение (2) где — непрерывные функции, наз. о б щ и м у р а в н е н и е м Р и к к а т и (в отличие от него уравнение (1) наз. с п е ц и а л ь н ы м у р а в н ен и е м Р и к к а т и). При общее Р. у. является линейным дифференциальным уравнением, при — Бернулли уравнением;решения этих двух уравнений находятся в квадратурах. Изучены также другие случаи интегрируемости общего Р. у. (см. [2]). Уравнение (2) тесно связано с системой дифференциальных уравнений: (3) Если (х(t), у(t)).- решение системы (3) при и у(t)не обращается в нуль на I, то z=x(t)y-1(t). есть решение уравнения (2); если z(t) — решение уравнения (2), a y(t) — решение уравнения то пара является решением системы (3). В частности, решения уравнения(2) при связаны с решениями уравнения равенством , если у(t)не обращается в нуль на I. В силу отмеченной связи, уравнение (2) часто привлекается для исследования колеблемости, неосцилляции, приводимости и многих других вопросов качественного поведения линейных уравнений и систем 2-го порядка (см. [3], [4]). Уравнение (4) где — неизвестная -матрица-функция, а матрицы-функции А, В, С, D имеют размеры , соответственно, наз. м а т р и чн ы м у р а в н е н и е м Р и к к а т и. Решения матричного Р. у. (4) связаны с решениями (X(t), Y(t))Матричной линейной системы: (5) равенством Матричное Р. у. играет важную роль в теории линейных гамильтоновых систем, вариационном исчислении, задачах оптимального управления, фильтрации, стабилизации управляемых линейных систем и др. (см. [6], [7]). Напр., оптимальное управление в задаче минимизации функционала на решениях системы -матрицы Ф, М(t)симметричны и неотрицательно определены, -матрица N(t), положительно определенная при , дается равенством где — решение матричного Р. у. (6) с граничным условием (см. [5], [8]). В задачах управления на бесконечном интервале времени важными являются вопросы о существовании у матричного Р. у. неотрицательно определенного ограниченного на решения, о существовании периодического или почти периодического решения (в случае периодических или почти периодических коэффициентов уравнения) и о способах приближенного построения таких решений. В вариационных задачах с дискретным временем и задачах дискретной оптимизации аналогом уравнения (4) служит м а т р и ч н о е р е к у р р е н т н о е у р а в н е н и е Р и к к а т и Уравнению (4) можно естественным образом поставить в соответствие динамич. систему на многообразии Грассмана (см. [9]), что позволяет привлечь к исследованию уравнения (4) теорию динамич. систем. Напр., если матрицы А, В, С, D в уравнении (4) периодичны с периодом , где li — мультипликаторы (см. Флоке — Ляпунова теорема).системы (5), то соответствующая динамич. система порождается диффеоморфизмом Морса — Смейла (см. Морса- Смейла система), и потому она структурно устойчива. Лит.: [1] R i с c a t i J., Opere, Treviao, 1758 (2 Aufl., Lucca, 1761-65); [2] К а м к е Э., Справочник по обыкновенным дифференцальным уравнениям, пер с нем., 5 изд., М., 1976; [3] Ер у г и н Н. П., Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений, 3 изд., Минск, 1979; [4] е г о ж е, Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, Минск, 1963; [5] R e i d W. Т., Riccati differential equations, N. Y.- L., 1972; [6] К а л м а н Р., Ф а л б П., А р б и б М., Очерки по математической теории систем, пер. с англ., М., 1971; [7] Л и о н с Ж.-Л., Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными, пер. с франц., М., 1972; [8] 3 а х а р — И т к и н М. X., "Успехи матем. наук", 1973, т. 28, в. 3, с. 83-120; [9] S с h n e i d е r С. R., "Math. Syst. Theory", 1973, v. 7, № 3, p. 281-86. E. Л. Тонков.