Риччи Тождество

1) Тождество, выражающее одно из свойств Римана тензора: Для ковариантного тензора тождество имеет вид т. е. циклирование по трем первым индексам дает нуль. 2) Тождество, к-рому должны удовлетворять ковариантные производные 2-го порядка относительно метрич. тензора gij риманова пространства Vn, отличающиеся лишь порядком дифференцирования. Если li — тензор 1-й валентности, — ковариантная производная 2-го порядка по xj и по относительно тензора gji, то Р. т. имеет вид где — тензор Римана, определяемый метрич. тензором gij, то есть в метрике пространства Vn (иными словами, альтернированная 2-я абсолютная производная тензорного поля li в метрике gij выражается через тензор Римана и компоненты li). Для ковариантного тензора 2-й валентности aij Р. т. имеет вид Вообще, для ковариантного тензора m-й валентности ar1...rm тождество имеет вид Аналогичные тождества образуются и для ковариантных и смешанных тензоров в Vn. Р. т. применяется, напр., при построении геометрии подпространств в V п в качестве условия интегрируемости основных деривариационных уравнений, из к-рого выводятся уравнения Гаусса и Петерсона — Кодацци для подпространств в Vn. Тождество установлено Г. Риччи (см. [1]). Лит.:[1] R i с с i G., L е v i-C i v i t а Т., "Math. Ann.", 1901, Bd 54, S. 125-201; [2] Р а ш е в с к и й П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; [3] Э й з е н х а р т Л. П., Риманова геометрия, пер. с англ., М., 1948. Л. А. Сидоров.