Ричардсона Экстраполяция

Метод ускорения сходимости решений разностных задач (см. Аппроксимация дифференциальной краевой задачи разностной). Основная идея метода состоит в исследовании решения и h,(x) сходящейся разностной задачи при фиксированных хкак функции параметра hразностной сетки, стремящегося к нулю, в подборе подходящей интерполяционной функции c(h), построенной по нескольким значениям решения и h, (х). при различных h, и вычислении величины c(0), являющейся приближенным значением искомого решения и(х) — предела последовательности uh (х)при . Чаще всего функция c(h). ищется в виде интерполяционного многочлена от h. Метод носит имя Л. Ричардсона [1], к-рый впервые использовал его как средство для улучшения точности решений разностных задач и называл постепенным п е р е х о д о м к п р е д е л у. Теоретич. основой применимости метода служит существование разложения вида где и функции не зависят от h,a hh,(x) — значения сеточной функции, ограниченные при . Имеется несколько теоретич. приемов для выяснения существования таких разложений [4]. Чаще всего используется линейная экстраполяция: с помощью m значений uh (х)в одной точке x для различных параметров h=h1, . . ., hm вычисляется экстраполированное значение и H (х)по правилу где веса определяются из системы уравнений: Если среди нет слишком близких значений, то где , то есть величина uH(x)сходится к и(х) при с порядком В, что больше b1 — порядка сходимости uh (х)к и(х). В двух частных случаях существуют алгоритмы вычисления величины и H (х), минуя определение коэффициентов : а) в случае bi = iр, р> 0, i =1, . . ., т -1, метод приводит к интерполяции многочлена от и из свойств Лагранжа интерполяционной формулы следует, что где (*) б) в случае , формула (*) заменяется следующей: Этот алгоритм, называемый п р а в и л о м Ромберга (W. Romberg, 1955), нашел распространение при конструировании квадратурных формул (см. [5]). Для того чтобы при различных hi сетки (см. Аппроксимация дифференциального оператора разностным).имели возможно больше общих узлов для осуществления Р. э., параметры hi выбирают как часть одной из последовательностей: hi=h0/i, i=l, 2, ...; hi=h021-i, i=1, 2, ...; h0, h0/2, h0/3, h0/4, h0/6, h0/8, h0/12,... . Линейная экстраполяция не является единственно возможной. Напр., в случае bi=iр, р> 0, в качестве интерполяционной функции c(h) используют рациональные функции вида j(hp)/y(hp), где j(t), y(t)-многочлены от tстепени [(m -1)/2] и [m/2] соответственно. Тогда результат рациональной экстраполяции и H (х)=c(0) может быть вычислен с помощью рекуррентной процедуры: Р. э. удобна для реализации на ЭВМ, поскольку для достижения высокой точности использует многократное решение простых разностных задач (иногда с небольшими модификациями) невысокого порядка аппроксимации, для к-рых обычно хорошо разработаны стандартные приемы решения и программы для ЭВМ. Лит.:[1] R i c h a r d s o n L. F., "Philos. Trans. Roy. Soc. Ser. A", 1910, v.210, p. 307 — 57; [2] В u 1 i r s с h R., S t о е r J., "Numer. Math.", 1964, Bd 6, H. 5, S. 413-27; [3] J о i с e D. C., "SIAM Review", 1971, v. 13, № 4, p. 435-90; [4] M а р ч у к Г. И., Ш а й д у р о в В. В., Повышение точности решений разностных схем, М., 1979; [5] Б а х в а л о в Н. С., Численные методы, 2 изд., М., 1975. В. В. Шайдуров.