Решета Метод

Один из общих методов теории чисел, обобщающий принцип высеивания составных чисел из натурального ряда (см. Эратосфена решето). Проблема Р. м. состоит в оценке для конечного множества Ацелых чисел количества тех элементов, к-рые не делятся ни на какое простое число риз нек-рого множества Рпростых чисел. Оценивается "просеивающая" функция , обозначающая количество указанных элементов из Апри дополнительном условии: Для получения оценок просеивающей функции часто используется информация о числе элементов множества , состоящего из элементов А , к-рые делятся на свободное от квадратов число . При множество . Поэтому обычно оценивается более общая просеивающая функция При выборе ожидаемого значения для в форме , где X — ожидаемое значение для N (А)и — мультипликативная функция, руководствуются тем, чтобы погрешность была относительно мала. Если при этом w(p)=k (по крайней мере, "в среднем"), то kназ. размерностью решета. Общая теория Р. м. с ее приложениями продвинулась наиболее далеко в случае линейного решета (при k=1). Существуют различные специализации Р. м., наиболее важные из к-рых принадлежат В. Бруну (V. Brun; см. Бруна решето).и А. Сельбергу (A. Selberg; см. Селъ-берга решето). В приложениях P.м. к аддитивным задачам (см. Аддитивная теория чисел), кроме оценок просеивающей функции сверху, необходимы оценки этой функции снизу. Получение оценок снизу может быть основано на логическом комбинаторном тождестве Наиболее точные оценки снизу получаются с добавлением комбинаторных соображений, связанных с использованием весовых функций. Сильный результат в приложениях Р. м. с весовыми функциями состоит в том, что каждое достаточно большое четное число Nпредставимо в виде , где р — простое число, Р 2 содержит не более двух простых множителей. Лит.:[1] П р а х а р К., Распределение простых чисел, пер. с нем., М., 1967; [2] Г е л ь ф о н д А. О., Л и н н и к Ю. В., Элементарные методы в аналитической теории чисел, М., 1962; [3] H a l b e r s t a m Н., R i c h e r t H., Sieve methods, L.- [а. о.], 1974. Б. М. Бредихин.