Регулярный Элемент

П о л у г р у п п ы- элемент a такой, что а=аха для нек-рого элемента х данной полугруппы; если при этом ах=ха, то аназ. в п о л н е р е г у л я р н ы м. Если a — Р. э. полугруппы S, то главный правый (левый) идеал в S, порожденный а, порождается нек-рым идемпотентом; обратно, каждое из этих двух симметричных свойств влечет регулярность а. Если аbа=а и bаb=b, то элементы а и b наз. и н в е р с н ы м и друг к другу (а также о б о б щ е н н о о б р а т н ы м и, р е г ул я р н о с о п р я ж е н н ы м и). Всякий Р. э. имеет инверсный к нему элемент, вообще говоря, не обязательно единственный (ср. Инверсная полугруппа.). Полугруппы, в к-рых всякие два элемента инверсны друг к другу, — это в точности прямоугольные полугруппы (см. Идемпотентов полугруппа). Всякий вполне Р. э. аимеет инверсный к нему элемент, перестановочный с а. Элемент вполне регулярен тогда и только тогда, когда он групповой, т. е. принадлежит нек-рой подгруппе полугруппы (ср. Клиффордова полугруппа). О регулярных -классах см. Грина отношения эквивалентности. Лит.:[1] К л и ф ф о р д А., П р е с т о н Г., Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 1, М., 1972; [2] Л я п и н Е. С., Полугруппы, М., 1960. Л. Н. Шеврин.