Регулярное Кольцо

В к о м м у т а т и в н о й а л г е б р е — нётерово кольцо А, все локализации к-рого регулярны; здесь — простой идеал в А. При этом локальное нётерово кольцо Ас максимальным идеалом наз. р е г у л я р н ы м, если порождается пэлементами, где n=dim A, т. е. если касательное пространство (как векторное пространство над полем вычетов) имеет размерность, равную dim А. Это равносильно отсутствию особенностей у схемы Spec A. Локальное Р. к. Авсегда целостно и нормально, а также факториально (т е о р е м а А у с л е н д е р а — Б у к с б а у м а), глубина его равна dim А. Ассоциированное градуированное кольцо изоморфно кольцу многочленов . Локальное нётерово кольцо Арегулярно тогда и только тогда, когда регулярно его пополнение ; вообще, если АМ В — плоское расширение локальных колец и Врегулярно, то и Арегулярно. Для полных локальных Р. к. имеет место с т р у к т у р н а я т е о р е м а К о э н а: они имеют вид , где R — поле или кольцо дискретного нормирования. Любой модуль конечного типа над локальным Р. к. обладает конечной свободной резольвентой (см. Гильберта теорема о сизигиях); верно и обратное (см. [2]). Р. к. являются любое полей любое дедекиндово кольцо. Если Арегулярно, то регулярно кольцо многочленов A[X1, . . ., Х n]и кольцо формальных степенных рядов над А. Если — необратимый элемент локального Р. к., то А/ аА регулярно тогда и только тогда, когда Лит.:[1] З а р и с с к и й О., С а м ю э л ь П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 2, М., 1963; [2] С е р р Ж.- П., "Математика", 1963, т. 7, № 5, с. 3-93; [3] G r o t h e n d i е с k A., D i e u d o n n e J. (red.), Elements de geometrie algebrique, chap. 4, P., 1964. В. И. Данилов.