Разреженность Множества

В точке — локальный признак того, что Еявляется полярным множеством. Непустое множество наз. р а з р е ж е н н ы м в точке в двух случаях: 1) если не является предельной точкой Е, то есть , где — производное множество для Е;2) если и в окрестности существует супергармонич. функция (см. Субгармоническая функция).такая, что Множество Еявляется полярным тогда и только тогда, когда оно — разреженное множество (р. м.) в каждой из своих точек. Для произвольного множества Еподмножество тех точек, в к-рых Еесть р. м., является полярным. Любое непустое подмножество р. м. в точке является р. м. в . Объединение конечного числа р. м. в точке является р. м. в точке Отрезок на плоскости не является р. м. ни в одной из своих точек. Если — р. м. в точке , то существуют сколь угодно малые окружности с центром , не пересекающиеся с Е. Полярное множество вполне разрывно. Однако канторово множество меры нуль на оси абсцисс не является р. м. ни в одной из своих точек. Вместе с тем в пространстве , напр., множество точек имеющее острие в точке (0, 0, 0), где — ньютонов потенциал плотности tна отрезке , есть р. м. в острие (п р и м е р Л е б е г а). Лит.:[1] Б р е л о М., Основы классической теории потенциала, пер. с франц., М., 1964; [2] Л а н д к о ф Н. С., Основы современной теории потенциала, М., 1966. Е. Д. Соломенцев.