РАЗМЕРНОСТЕЙ АНАЛИЗ

Метод установления связи между физ. величинами, существенными для изучаемого явления, основанный на рассмотрении размерностей этих величин. В основе Р. а. лежит требование, согласно к-рому ур-ние, выражающее искомую связь, должно оставаться справедливым при любом изменении единиц входящих в него величин. Это требование совпадает с требованием равенства размерностей величин в левой и правой частях ур-ния. Ф-ла размерности к.-л. физ. .величины В имеет вид:

(В)=LlMmTt,или dimB=LlMmTt (1)

(dim от англ. dimension — размер, размерность). (В) — символ размерности определяемой (производной) физ. величины (обычно берётся в прямые скобки); L, М, Т, . . .— символы величин, принятых за основные (соответственно длины, массы, времени и т. д.); l, m, t, . . . — целые или дробные, положительные или отрицательные вещественные числа, наз. показателями размерности, или размерностью производной величины В. Так, ф-ла размерности для ускорения о записывается в виде (a)=LT-2, для силы — LMT-2. Понятие размерности распространяется и на осн. величины. Принимают, что размерность осн. величины в отношении самой себя равна единице и что от др. величин она не зависит; тогда ф-ла размерности осн. величины совпадает с её символом. Если единица производной величины не изменяется при изменении к.-л. из осн. единиц, то такая величина обладает нулевой размерностью по отношению к соответствующей основной. Так, ускорение обладает нулевой размерностью по отношению к массе. Величины, в размерности к-рых все осн. величины входят в нулевой степени, наз. безразмерными. Выбор числа физ. величин, принимаемых за основные, и самих этих величин в принципе произволен, но практич. соображения приводят к нек-рому ограничению свободы в выборе осн. величин и их единиц.

В СГС системе единиц за осн. величины принимают длину, массу и время. В этой системе размерность физ. величины выражается произведением трёх символов L, М и Т в соответствующих степенях. Международная система единиц (СИ) содержит семь осн. величин: кроме длины, массы и времени, силу тока (символ I), темп-ру (9), силу света (J), кол-во в-ва (N).

Если для исследуемого явления установлено, с какими величинами может быть связана искомая величина, но вид этой связи неизвестен, для её нахождения составляют ур-ние размерностей, в к-ром в левой части будет стоять символ искомой величины со своим показателем размерности, а в правой — произведение символов величин, от к-рых искомая величина зависит, но с неизвестными показателями размерности. Задача нахождения связи между физ. Величинами сводится в этом случае к отысканию значений соответствующих показателей размерности. Если, напр., требуется определить время т прохождения пути s телом массой m, движущимся поступательно и прямолинейно под действием пост. силы f, то можно составить ур-ние размерности, имеющее вид:

T=LxMy(LMT-2)z, (2)

где х, у, z неизвестны. Требование равенства показателей размерности левой и правой частей в ур-нии (2) приводит к системе ур-ний: x+z=0, y+z=0, -2z=1, откуда следует, что x=y=l/2, z=-1/2 и t=C?ms/f. (3)

Безразмерный коэфф. С, равный согласно законам механики ?2, в рамках Р. а. определить нельзя.

В этом состоит своеобразие Р. а. Устанавливаемая с его помощью зависимость искомой величины от величин, определяющих исследуемое явление, находится с точностью до пост. коэфф. Для получения точных количественных соотношений нужны дополнит. данные. Поэтому Р. а. не явл. универсальным методом. Он нашёл плодотворное применение в тех областях физики (гидравлике, аэродинамике и др.), где строгое решение задачи часто наталкивается на значит. трудности, в частности из-за большого числа параметров, определяющих физ. явление. При решении сложных задач на основе Р. а. большую роль сыграла теорема (её наз. p-теоремой), согласно к-рой всякое соотношение между нек-рым числом размерных величин, характеризующих данное физ. явление, можно представить в виде соотношения между меньшим числом безразмерных комбинаций, составленных из этих величин. Эта теорема связывает Р. а. с теорией физ. подобия, в основе к-рой лежит утверждение, что если все соответствующие безразмерные характеристики (подобиякритерии) для двух явлений одинаковы, то эти явления физически подобны (см. ПОДОБИЯ ТЕОРИЯ).