Размерность

I

Разме́рность (число измерений)

геометрической фигуры, число, равное единице, если фигура есть линия; равное двум, если фигура есть поверхность; равное трём, если фигура представляет собой тело. С точки зрения аналитической геометрии Р. фигуры равна числу координат, нужных для определения положения лежащей на этой фигуре точки; например, положение точки на кривой определяется одной координатой, на поверхности — двумя координатами, в трёхмерном пространстве — тремя координатами. Геометрия до середины 19 в. занималась только фигурами первых трёх Р. С развитием в середине 19 в. понятия о многомерном пространстве (См. Многомерное пространство) геометрия начинает заниматься фигурами любой Р. Простейшими фигурами размерности m являются m-мерные многообразия (См. Многообразие); m-мерное многообразие, расположенное в n-меpном пространстве, задаётся при помощи n — m уравнений (например, линия, т. е. одномерное многообразие, в трёхмерном пространстве задаётся 3 — 1 = 2 уравнениями). Положение точки на m-мерном многообразии определяется «криволинейными» координатами (например, положение точки на сфере определяется её «географическими координатами» — долготой и широтой; аналогично на торе). Приведённые выше положения справедливы лишь при некоторых ограничительных предположениях. Действительно общее определение Р. любого замкнутого ограниченного множества, лежащего в n-mepном евклидовом пространстве, было дано П. С. Урысоном: оказывается, для того чтобы такое множество имело размерность ≤ m, необходимо и достаточно, чтобы оно при любом ε > 0 допускало ε-Покрытие (замкнутыми множествами, имеющими кратность ≤ n + 1). Приведённое выше общее определение Р. допускает естественное обобщение на очень широкие классы топологических пространств (См. Топологическое пространство). Урысон построил в 1921 теорию Р. — одну из глубоких теорий современной топологии. Своим дальнейшим развитием теория Р. обязана главным образом советским математикам (П. С. Александров, Л. С. Понтрягин и др.).

Лит.: Александров П. С., Пасынков Б. А., Введение в теорию размерности, М., 1973.

II

Разме́рность

физической величины, выражение, показывающее, во сколько раз изменится единица физической величины при изменении единиц величин, принятых в данной системе за основные. Р. представляет собой одночлен, составленный из произведения обобщённых символов основных единиц в различных (целых или дробных, положительных или отрицательных) степенях, которые называются показателями Р. Так, например, Р. скорости LT—1, где Т представляет собой Р. времени, а L — Р. длины. Эти символы обозначают единицы времени и длины независимо от их конкретного размера (секунда, минута, час, метр, сантиметр и т.д.). В ряде случаев Р. позволяет устанавливать связи между соответствующими величинами (подробнее см. Размерностей анализ).