Разложение Единицы

Однопараметрическое семейство , проекционных операторов, действующих в гильбертовом пространстве , такое, что 1) , если l<m; 2) Е l сильно непрерывно слева, т. е. Е l-0 -Еl для любого ; 3) при и при , здесь О и Е — нулевой и единичный операторы в пространстве . Условие 2} можно заменить на условие непрерывности справа в каждой точке Всякий самосопряженный оператор А, действующий в , порождает соответствующее ему вполне определенное Р. е. При этом кроме условий 1)-3) выполняются еще условия: 4) если В — ограниченный оператор такой, что ВА=АВ, то ВЕl=Еl В для любого А; 5) если А- ограниченный оператор, т, М — его нижняя и верхняя грани соответственно, то и Е l=Е при Р. е., порожденное оператором А, полностью определяет спектральные свойства этого оператора, а именно: (а) точка Кесть регулярная точка оператора Атогда и только тогда, когда она является точкой постоянства, т. е. когда существует d>0 такое, что для (Р) точка l0 есть собственное значение оператора Атогда и только тогда, когда в этой точке Е l имеет скачок, т. е. ; (у) если , то есть инвариантное подпространство оператора А. Поэтому Р. е., порожденное оператором А, наз. также спектральной функцией этого оператора. Обратно, каждое Р. е. однозначно определяет самосопряженный оператор A, для к-рого это Р. е. является спектральной функцией. Область определения D(А).оператора Асостоит из тех и только тех , для к-рых и имеет место представление оператора Ав виде операторного интеграла Стилтьеса Лит.:[1] Р и с с Ф., С ё к е ф а л ь в и — Н а д ь Б., Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., 2 изд., М., 1979; 12] А х и е з е р Н. И., Г л а з м а н И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М., I960; [3] К а н т о р о в и ч Л. В., А к и л о в Г. П., Функциональный анализ, 2 изд., М., 1977. В. И. Соболев.