Расщепления Метод

Сеточный метод решения нестационарных задач со многими пространственными переменными, в к-ром переход от заданного временного слоя tn к новому слою осуществляется за счет последовательного решения сеточных аналогов родственных нестационарных задач е меньшим числом пространственных переменных (см. [1] — [4]). Часто в этом классе методов могут быть найдены такие, что 1) весь переход от сеточного слоя в момент времени tn к новому сеточному слою является достаточно простым и может быть осуществлен при затрате О(N)арифметич. действий, где N — число узлов пространственной сетки; 2) гарантируется абсолютная устойчивость метода; 3) гарантируется наличие приемлемой точности метода (наличие аппроксимации в том или ином смысле). Р. м. довольно широко применяются при практич. решении многомерных задач математич. физики, связанных, напр., с линейными и нелинейными системами параболического, гиперболического или смешанного типа (см. [1] — [8]). Обычно для задачи с рпространственными переменными переход от tn к в Р. м. производится с использованием рвспомогательных (дробных) шагов: (1) где — матрица, соответствующая разностной аппроксимации нек-рого дифференциального оператора, содержащего производные только по xs (одномерного дифференциального оператора), а правые части (1) легко вычислимы. При соответствующей нумерации неизвестных, связанной с выбором направления xs, матрицы становятся обычно диагональными и решение систем (1) при каждом s сводится к многократному решению одномерных разностных систем но направлению xs. Поэтому часто Р. м. наз. также или переменных направлений методом или дробных шагов методом. Одним из типичных примеров в случае уравнения с начальным условием и краевым условием , где , Г- граница W, может служить следующий метод, построенный на квадратной сетке с шагом h: (2) где — простейшие разностные аппроксимации для Wn- совокуп- ность внутренних узлов , Имеются два альтернативных подхода к теории Р. м. В одном из них промежуточные шаги ни в чем существенном не отличаются от целых шагов, и сами разностные уравнения на дробных шагах и граничные условия для них, подобно методу (2), устроены одинаково, и можно ожидать, что и будут служить аппроксимациями для решения исходной задачи в моменты времени и . Этот подход основан на использовании понятия составной схемы и суммарной аппроксимации (см. [2]). Схемы такого типа часто наз. л о к а л ь н о о д н о м е р н ы м и с х е м а м и или а д д и т и в н ы м и с х е м а м и; их можно также трактовать как обычные разностные схемы для нек-рого уравнения с сильно осциллирующими по времени коэффициентами, решение к-рого должно быть близко к решению исходной задачи (см. [1]-[4]). Достоинства этого подхода в его простоте и общности, напр, обобщения метода (2) возможны и для случая криволинейных областей W и более общих задач. Точность же получаемых на этом пути методов обычно не очень высока. Известны и иногда успешно применяются варианты Р. м., в к-рых расщепление производится не по пространственным переменным, а по физич. процессам (см. [5]). Второй подход в плане анализа устойчивости и сходимости исключает какие-либо дробные шаги из рассмотрения. Сама разностная схема и аппроксимация трактуются традиционным образом. Необычность разностной схемы проявляется лишь в том, что на верхнем слое схемы появляется необычный разностный оператор. Напр., вместо метода (2) рассматривается метод (3) где , Е — тождественный оператор. Такие операторы Аобычно наз. р а с щ е п л яю щ и м и с я или ф а к т о р и з о в а н н ы м и о п е р а т о р а м и. Дробные шаги связываются лишь с методом решения возникающих систем и для одной и той же схемы (3) могут быть введены различными способами, граничные условия для них должны выбираться в зависимости от этого. Сами схемы типа (3) можно трактовать как обычные схемы с весом для e-уравнения, напр., вида решения к-рого отличаются от решения исходной задачи на О(e) (см. [4]). В случае области W, составленной из прямоугольников, матрицы возникающих систем в методах типа (3) уже не нредставимы в виде произведения "одномерных" матриц. Все же решения подобных систем могут быть найдены при затрате O(N). арифметич. действий (см. [4]), операторы подобного типа наз. р а с ш и р е н н о р а с щ е п л я ю щ и м и с я о п ер а т о р а м и. При исследовании устойчивости и сходимости схем с расщепляющимися и расширенно расщепляющимися операторами большую роль играет метод энергетич. неравенств (см. [2], [4], [6] — (8]). Лит.:[1] М а р ч у к. Г. И., Методы вычислительной математики, 2 изд., М., 1980; [2] С а м а р с к и й А. А., Теория разностных схем, М., 1977; [3] Я н е н к о Н. Н., Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики, Новосиб., 1967; [4] Д ь я к о н о в Е . Г ., Разностные методы решения краевых задач, в. 1-2, М., 1971-72; [5] К о в е н я В. М., Я н е н к о Н. Н., Метод расщепления в задачах газовой динамики, Новосиб., 1981; [6] Д р ы я М., в кн.: Banach center publications, v. 3), Warszawa, 1978, p. 59-67; [7] 3 л о т н и к А. А., "Ж, вычислит. матем. и матем. физ.", 1980, т. 20, .№ 2, с. 422-32; [8] Н a y e s L. J., "SIAM J. Numer. Analysis", 1981, v. 18, № 4, p. 627 — 43. Е. Г. Дьяконов.