Распределение Простых Чисел

Раздел теории чисел, в к-ром изучаются закономерности распределения простых чисел (п. ч.) среди натуральных чисел. Центральной является проблема наилучшего асимптотич. выражения при функции p(х), обозначающей число п. ч., не превосходящих х, а также функции p(х; d, l), обозначающей число п. ч., не превосходящих хв арифметич. прогрессии dn+l при , для растущих вместе с хзначений d. О с н о в н а я т е о р е м а а р и ф м е т и к и: каждое натуральное число n>1 является или п. ч. или единственным (с точностью до перестановки сомножителей) произведением п. ч. (т. н. к а н о н и ч е с к о е п р е д с т а в л е н и е числа п), где — различные п. ч., n1, ...... , — натуральные числа. Таким образом, п. ч. есть базис мультипликативного построения ряда натуральных чисел, это, однако, непосредственно ничего не говорит о величине p(х). Для нахождения п. ч. от 1 до хслужит известный с 3 в. до н. э. метод Эратосфена решета. Решето Эратосфена является простейшей процедурой получения последовательности п. ч. Однако аналитич. ормула решета где dпробегает делители произведения всех п. ч. , — число простых делителей — целая часть и, непригодна для изучения p (х).при Рассмотрение последовательности п. ч. от 1 до х:2,3, 5, 7, 11, 14, ..., р(1) показывает, что с увеличением x она становится в среднем все более редкой. Существуют сколь угодно длинные отрезки ряда натуральных чисел, среди к-рых нет ни одного п. ч. Напр., п-1 натуральных чисел вида п!+2, ... , п!+п для любого являются составными числами. В то же время в (1) встречаются п. ч. такие, как 8004119 и 8004121, разность между к-рыми равна 2 (п. ч.- близнецы). Проблема поведения p(x) при является одной из наиболее трудных и интересных проблем теории чисел. Первый результат о величине p(х).-т е о р е м а Е в к л и д а: при . Л. Эйлер (L. Еu1ег, 1737, 1749, см. [1]) ввел функцию (2) и показал, что при (3) где ряд распространяется на все натуральные числа, а произведение на все п. ч. Тождество (3) и его обобщения играют фундаментальную роль в теории Р. п. ч. Исходя из него, Л. Эйлер доказал, что ряд и произведение по простым ррасходятся. Это — новое доказательство бесконечности числа п. ч. Более того, Л. Эйлер установил, что п. ч. "много", ибо и, в то же время, почти все натуральные числа являются составными, т. к. Далее значительного успеха достиг П. Л. Чебышев (1851-52, см. [2]). Он доказал, что: 1) для любых т>0, М>0 есть последовательности , для к-рых 2) если существует предел частного при , то он равен 1. Тем самым впервые был решен вопрос о существовании простой функции к-рая служит наилучшим приближением для p(х). Затем П. Л. Чебышев установил истинный порядок роста p(х), т. е. существование постоянных а>0, А>0 таких, что (4) причем, а=0,92... , А=1,05... для . Он же доказал, что при любом в интервале ( п, 2п).содержится по крайней мере одно п. ч. (п о с т у л а т Б е р т р а н а). В основе вывода неравенств (4) лежит т о ж д е с т в о Ч е б ы ш е в а (5) в к-ром введенная П. Л. Чебышевым функция y определяется суммой по степеням р т, m=1, 2, ... , п. ч. р: Именно, комбинация для в форме вследствие (5), дает тождество из к-рого следует, что Отсюда, вследствие асимптотич. формулы Стирлинга для n, вытекает аналог неравенств (4) для y(x), из к-рых частичным суммированием получаются неравенства (4). Функция Чебышева y (х)оказалась более удобной, чем p(х), при изучении Р. п. ч., поскольку наилучшим приближением ее является сам аргумент х. По-этому обычно сначала рассматривают y (х), а затем частичным суммированием получают соответствующий результат для p(х). Принцип Римана. В 1859-60 Б. Риман (В. Riemann, см. [3]) рассмотрел введенную Л. Эйлером для s>l функцию как функцию комплексного переменного , где s, t — действительные переменные, определяемую рядом (2) при s>1 (см. Дзета-функция), и обнаружил исключительную важность этой функции для теории Р. п. ч. В частности, он указал выражение разности p(х)- li хчерез хи нули функции , лежащие в полосе , к-рые наз. н е т р и в и а л ьн ы м и н у л я м и ф у н к ц и и z,(s). Вместо формулы Римана обычно используется более простой конечный ее аналог для y(x), доказанный (наряду с формулой Римана) X. Мангольдтом (Н. Маngoldt, 1895). Именно, для x>1 (6) где r=b+ig пробегает нетривиальные нули , Т — любое Поскольку формула (6) показывает, что величина разности y(x)-x в главном определяется величиной b (действительной частью самых правых нулей r). В частности, если правее вертикали s=q, , для функций y(x), p(x) справедливы следующие асимптотич. выражения: Наоборот, из этих соотношений следует, что для . Если справедлива гипотеза Римана, т. Простые числа арифметической прогрессии. Первый способ (Евклида) доказательства бесконечности числа п. ч. можно перенести и на нек-рые арифметич. прогрессии. Но доказать таким путем, что в каждой арифметич. прогрессии dn+l, первый член к-рой l и разность dвзаимно просты, содержится бесконечно много п. ч., до сих пор (1983) не удалось. Задачу другим методом решил П. Дирихле (P. Dirichlet, 1837-40), распространив идею Л. Эйлера о том, что при на п. ч.. Для этого он ввел арифметич. функции — характеры c=c(n, d) (см. Дирихле характер).и функции L(s,c). (см. Дирихле L-функция), которые подобно функции z(s) для p(х), y (х)служат в качестве основного аппарата изучения функции p (х; d, l )и ее аналога В случае фиксированного значения , большинство результатов, указанных выше для p(x) y(х), перенесены и на функции p(х; d, l)и y (х; d, l). Однако особый интерес здесь представляют результаты для растущих вместе с хзначений d, к-рые важны в аддитивной теории чисел и ряде других задач. В таком случае возникают значительные дополнительные трудности, связанные прежде всего с оценкой величины d — наибольшего действительного нуля функции L(s,c) по mod d. При помощи Пейджа теорем доказано, что для а вследствие оценки К. Зигеля (К. Siegel, 1935) для любого фиксированного А>1 при где j(d) — функция Эйлера, а- положительная постоянная, с 1=с 1(A) — неэффективная постоянная >0, то есть c1 не может быть вычислена по заданному А . Если справедлива расширенная Римана гипотеза, то для Таким образом, к 1983 доказано, что п. ч. равномерно распределены по всем j(d)прогрессиям , разности dлишь при . Что же касается отрезков прогрессий разности, напр. d=xe с каким бы то ни было постоянным e>0, то из предыдущего не следует даже, что такая прогрессия содержит хотя бы одно п. ч. l Метод решета Бруна, как и его модификация, предложенная А. Сельбергом в 1947, показывает, что для всех , имеет место неравенство сверху с абсолютной константой , но никаких оценок снизу для p(х; d, l )эти методы дать но могут. Выражение для y (х; d, l)no принципу Римана через нули r=b+ig лежащие в полосе функции L(s, c), имеет вид где штрих у суммы — знак суммирования по комплексным c mod d, a — действительный нуль функции L(s,c), если он существует и больше , Т- любое Из (8) видно, если не считать слагаемого, отвечающего а, что остаточный член асимптотики y (x; d, l )определяется величиной двойной суммы, зависящей и от действительной части нулей r и от количества всех L(s, c) с c mod d, имеющих нули . Если для через N (s, T, c) обозначить число нулей функции L(s, c) в прямоугольнике: , то вопросы оценки остаточного члена для y (х; d, l )и его среднего значения сводятся к вопросам оценки плотности распределения нулей L-функций в виде (9) Таким образом, понижение разного рода оценок для п. ч. связывается не только с отсутствием нулей L (s, c) в критич. полосе, но и с сравнительно редким их распределением здесь. Реализация этой идеи была одним из центральных направлений исследований Р. п. ч. последних 40 лет. Начало положил Ю. В. Линник открытием в 1941 метода большого решета (см. [22], а также [14], [15], [24]). Особо важными являются теоремы о наименьшем п. ч. в арифметической прогрессии, о поведении p (х; d, l )и y (х; d, l )в среднем по и о двойном усреднении этих функций по , и . Именно, в 1944 Ю. В. Линник [23] показал, что при сумма N1 в (9) имеет оценку , где а — постоянная; отсюда он вывел существование постоянной стакой, что любая арифметич. прогрессия dn+l, где , содержит п. ч., меньшее dc. Последняя к 1983 оценка постоянной Линника имеет вид с=17; а если верна плотностная гипотеза: , то В 1965 А. И. Виноградов и Э. Бомбьери независимо получили сильные оценки сумм N2 из (9). Более совершенствованный метод оценки этих сумм разработал Г. Монтгомери (Н. Montgomery, 1969). Одним из следствий оценок N2 является следующий результат о Р. п. ч. в арифметич. прогрессиях в среднем: при любом постоянном . Эти оценки существенно усилить уже нельзя, т. к. из расширенной гипотезы Римана следует, что B = A + 2. Другие вопросы распределения простых чисел. Пусть есть количество чисел вида , к-рые являются произведением простых n чисел. X. Рихерт (Н. Pichert, 1953) доказал, что где определяется рядами, зависящими от h, m, d и n. Э. Ландау (Е. Landau, 1903-1918) перенес нек-рые результаты Р. п. ч. на алгебраические числовые поля. Пусть К — алгебраическое числовое поле n-й степени, p (х; К) — есть число простых идеалов с нормой в К. Тогда где с — абсолютная положительная постоянная, и где W — отрицание символа о (малое). Много изучалась функция F(x, у), обозначающая число натуральных чисел , не содержащих простых делителей, меньших у. Для при , такие числа наз. к в а з и п р о с т ы м и ч и с л а м и. Методом решета для этих чисел получена достаточно полная теория их распределения, аналогичная ожидаемой теории Р. п. ч. Рассматривалось также распределение чисел с малыми простыми делителями (см. [25]). Лит.:[1] Э й л е р Л., Введение в анализ бесконечных, пер. с латин., 2 изд., т. 1, М., 1961; [2] Ч е б ы ш е в П. Л., Избр. матем. труды, М.- Л., 1946; [3] Р и м а н Б., Соч., пер. с нем., М.- Л., 1948; [4] И н г а м А. Е., , пер. с англ., М.- Л., 1936; [5] В и н о г р ад о в И. М., Избр. труды, М., 1952; [6] е г о ж е, "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1958, т. 22, № 2, с. 161-64; [7] е г о ж е, Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; [8] Т и т ч м а р ш Е., Теория дзета-функции Римана, пер. с англ., М., 1953; [9] II р а х а р К., , пер. с нем., М., 1967; [10] К а р а ц у б а А. А., Основы аналитической теории чисел, М., 1975; [11] X у а Л о-к е н, Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел, пер. с нем., М.. 1964; [12] Ч у д а к о в Н. Г., Введение в теорию L функций Дирихле, М.- Л., 1947; [13] Л а в р и к А. Ф. "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1961, т. 64, с. 90-125; [14] Д э в е н п о р т Г., Мультипликативная теория чисел, пер. с англ., М.. 1971; [15] М о н т г о м е р и Г., Мультипликативная теория чисел, пер. с англ., М., 1974; [16] S е l b е г g A., "Ann. Math.", 1949, v. 50, p. 305-13; [17] Е г d o s P., "Proc. Nat. Acad. Sci. USA", 1949, v. 35, p. 371-84; [18] Л а в р и к А. Ф. (Обзорный доклад международной конференции по теории чисел, М., 1981); [19] D i a m o n d Н. G., S t е i n i g J., "Invent. Math.", 1970, V. 11, p. 199-258; [20] Л а в р и к А. Ф., С о б и р о в А. Ш., "Докл. АН СССР", 1973, т. 211, № 3, с. 534-36; [21] R o s s e r В., "Proc. London math. Soc.", 1939, v. 45 (2), p. 21-44; [22] Л и н н и к Ю. В., "Докл. АН СССР", 1941, т. 30, № 4, с. 290-92; [23] е г о ж е, "Матем. сб.", 1944, т. 15, с. 139-78; [24] Л а в р и к А. Ф., "Успехи матем. наук", 1980, т. 35, в. 2, с. 55-65; [25] H a l b e r s t a m Н., R i с h е г t Н. Е., Sieve Methods, L.- [etc], 1974. А. Ф. Лаврик.