Распределение Дробных Долей

Распределение в единичном интервале [0.1) дробных долей последовательности действительных чисел aj, j= =1,2, . . . Последовательность дробных долей , j=1,2, . . . , наз. р а в н о м е р н о р а с п р е д е л е нн о й в и н т е р в а л е [0,1), если для каждого интервала имеет место равенство где jn(а, b) — число первых пчленов , , последовательности , j=1,2, . . . , попавших в [ а, b). Прп этом последовательность чисел aj, j= =1,2, . . . , наз. р а в н о м е р н о р а с п р е д е л е н-н о й п о м о д у л ю 1. К р и т е р и й В е й л я (см. [1]) для равномерно Р. д. д.: бесконечная последовательность дробных долей , j=1, 2, ... , равномерно распределена в единичном интервале [0, 1) тогда и только тогда, когда для любой интегрируемой по Риману на отрезке функции f(x). Это утверждение эквивалентно следующему. Для того чтобы последовательность aj, j= 1, 2, ..., была равномерно распределена по модулю 1, необходимо и достаточно, чтобы для каждого целого . Из критерия Вейля и его оценок тригонометрии, сумм следует, что если хотя бы один из коэффициентов as, , многочлена иррационален, то последовательность дробных долей , n = 1, 2, ... , равномерно распределена в интервале [0, 1). Понятию равномерного Р. д. д. , j-1, 2, ... , можно придать количественный характер, если ввести в рассмотрение величину называемую отклонением первых пчленов последовательности , j=1, 2, ... (см. [2], [3]). Лит.:[1] W е у 1 Н., "Math. Ann.", 1916, Bd 77, S. 313-52; [2]В и н о г р а д о в И. М., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; [3] X у а Ло — к е н. Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел, пер. с нем., М., 1964. С. А. Степанов.