Рациональное Многообразие

Алгебраическое многообразие Xнад алгебраически замкнутым полем k, поле рациональных функций k(X)к-рого изоморфно чисто трансцендентному расширению конечной степени поля k. Другими словами, Р. м.- это алгебраич. многообразие X, бирационально изоморфное проективному пространству Р n. Полное гладкое Р. м. Xобладает следующими бирациональными инвариантами. Размерности всех пространств регулярных дифференциальных k-форм на Xравны 0. Кроме того, кратный род где KX- канонич. дивизор алгебраич. многообразия X, т. е. кодаировская размерность Р. м. Xравна 0. В малых размерностях перечисленные выше инварианты однозначно выделяют класс Р. м. среди всех алгебраич. многообразий. Так, если и род алгебраич. кривой Xравен 0, то X — рациональная кривая. Если а арифметич. род и кратный род Р 2=0, то X — рациональная поверхность. Однако в случае нет хорошего критерия рациональности из-за отрицательного решения Люрота проблемы. Лит.:[1] Ш а ф а р е в и ч И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972. Вик. С. Куликов.