Пуанкаре Теорема Возвращения

Одна из основных теорем общей теории динамич. систем с инвариантной мерой. Пусть движение системы описывается дифференциальными уравнениями (1) где однозначные функции Xi( х 1, . . ., х п).удовлетворяют условию так что уравнения (1) допускают положительный интегральный инвариант (2) Предполагается также, что если изображающая точка Рс координатами х 1 ,. . ., х п в начальный момент времени t0 находится внутри нек-рой области Vконечного объема, то она будет оставаться неопределенно долго внутри этой области, и что П. т. в.: если рассматривается область U0, содержащаяся в V, то можно выбрать бесконечным числом способов начальное положение точки Ртаким образом, чтобы эта точка пересекла область U0 бесконечно много раз. Если этот выбор начального положения делается наудачу внутри U0, то вероятность того, что точка Рне пересечет область U0 бесконечное число раз, будет бесконечно мала. Другими словами, если начальные условия не являются исключительными, в указанном смысле, то точка Рпройдет бесконечно много раз сколь угодно близко от своего начального положения. Движение, при к-ром система бесконечное число раз возвращается в окрестность начального состояния, А. Пуанкаре (Н. Poincare) назвал устойчивым в смысле Пуассона. П. т. в. была впервые установлена А. Пуанкаре (см. [1], [2]), а его доказательство было улучшено К. Каратеодори [3]. Введя в метрич. пространстве Rс помощью четырех аксиом абстрактное понятие меры mAлюбого множества и рассматривая динамич. систему f( р, t) ( р=Р для t=0), заданную в R, К. Каратеодори назвал меру m инвариантной относительно системы f(p, t), если для любого m-измеримого множества Аимеет место равенство Инвариантная мера представляет собой естественное обобщение интегрального инварианта (2) для дифференциальных уравнений (1). Предположив меру всего пространства Rконечной, К. Каратеодори доказал, что: 1) если цА=т>(), то найдутся значения , такие, что m[A.f(A, t)]>0, где A.f(A, t) — множество точек, принадлежащих одновременно множествам Аи f (A, t). 2) если в пространстве Rсо счетной базой mR=1 для инвариантной меры m, то почти все точки (в смысле меры и) устойчивы по Пуассону. А. Я. Хинчин [5] уточнил часть 1) этой теоремы, доказав, что для всякого измеримого множества Е,m Е=m>0, и любого , неравенство выполняется для относительно плотного множества значений tна оси (при любом l<1). Н. Г. Четаев (см. [6], [7]) обобщил П. т. в. на случай, когда функции Xi в (1) зависят также от времени tпериодически. Именно, пусть а) действительным состояниям системы отвечают лишь действительные значения переменных; б) функции Х i в дифференциальных уравнениях движения (1) суть периодические относительно tс одним общим им всем периодом t; в) в своем движении точка Рне выйдет из нек-рой замкнутой области R, если ее начальное положение Р 0 находится где-либо внутри определенной области r0; г) mes Wk ames W0, где mes обозначает меру множества Wk (объем в смысле Лебега), к-рое заполняют в момент t=t0+kt. движущиеся точки, вышедшие в t0 из W0; k — нек-рое целое число, постоянная апредполагается не бесконечно малой. Тогда почти всюду (кроме, быть может, множества точек меры нуль) в области r0 траектории имеют устойчивость в смысле Пуассона. Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов [8] для весьма широкого класса динамич. систем дали построение меры, инвариантной относительно данной динамич. системы (см. также [4]). Лит.:[1] Poincare H., "Acta math.", 1890, v. 13, p. 1-270; [2] eго же, Избр. тр., пер. с франц., М., 1972; [3] Саratheоdоrу С., "Sitz. Pies.Acad. Wiss. Berlin", 1919, S. 580; [4] Немыцкий В. В., Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.- Л., 1949; [5] Xинчин А. Я., "Сотр. math.", 1934, v. I p. 177-79; [6] Четаев Н. Г., "С. г. Acad. sci.", 1928, t. 187, p. 637-38; [7] его же, "Уч. зап. Казанск. ун-та", 1929, т. 89 кн. 2, с. 199-201; [8] Крылов Н. Н., Боголюбов Н. Н. "Ann. Math.", 1937, v. 38, М 1, p. 65-113. В. В. Румянцев