Пуанкаре Сфера

Сфера в пространстве R3 с отождествленными диаметрально противоположными точками. П. с. диффеоморфна проективной плоскости RP2; она была введена А. Пуанкаре (Н. Poincare, см. [1]) для исследования поведения на бесконечности фазовых траекторий двумерной автономной системы (1) в случае, когда Ри Q- многочлены. П. с. обычно изображают так, чтобы она касалась плоскости ( х, у);при проектировании из центра П. с. взаимно однозначно отображается на RP2, причем паре диаметрально противоположных точек экватора отвечает бесконечно удаленная точка. Соответственно, фазовые траектории системы (1) отображаются на кривые на сфере. Эквивалентный метод исследования системы (1) — применение преобразований Пуанкаре: Первое (соответственно второе) из них пригодно вне сектора, содержащего ось у(ось х). Напр., преобразование а) приводит систему (1) к виду (1') где dt=zndtи n — наибольшая из степеней Р, Q;особые точки системы (1') наз. бесконечно удаленными особыми точками системы (1). Если многочлены Р, Q взаимно просты, то многочлены Р*, Q* также взаимно просты и система (1) имеет конечное число бесконечно удаленных особых точек. Лит.:[1] Пуанкаре А., О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, пер. с франц., М., 1947; [2] Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г., Качественная теория динамических систем второго порядка, М., 1986; [3] Лефшец С., Геометрическая теория дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1961. М. В. Федорюк.