Пуанкаре Интерпретация

Модель, реализующая геометрию плоскости Лобачевского (гиперболич. геометрию) на плоскости комплексного переменного. В П. и. с круговым абсолютом каждая точка единичного круга в плоскости z наз. гиперболической точкой, а сам круг — гиперболической плоскостью. Дуги окружностей (и диаметр) в Е, ортогональные к граничной окружности , наз. гиперболическими прямыми. Каждая точка W наз. идеальной точкой. Гиперболич. прямые с общей гиперболич. точкой наз. пересекающимися прямыми; с общей идеальной точкой — параллельными прямыми; прямые, к-рые не пересекаются и не параллельны,- гиперпараллель-н ы м и (расходящимися) прямыми. Так, напр., на рис. 1 изображены две прямые, проходящие через точку z1, параллельно прямой z2z3. В П. и. в полуплоскости каждая точка верхней полуплоскости наз. гиперболической точкой, а сама полуплоскость — гиперболической плоскостью. Полуокружности и полупрямые, ортогональные действительной оси, наз. гиперболическими прямыми. Множеством идеальных точек (абсолютом) является ось и бесконечно удаленная точка плоскости z. действительная Аналогично П. и. с круговым абсолютом определяются параллельные, пересекающиеся и расходящиеся прямые. Так, напр., на рис. 2 изображены две прямые, проходящие через точку z1 параллельно прямой z2 z3. Движения описываются конформными преобразованиями, переводящими абсолют в себя. Расстояния определяются с помощью двойного отношения четырех точек где — идеальная точка полупрямой, исходящей из z1 и проходящей через — идеальная точка полупрямой, исходящей из z2 и проходящей через z1; k — произвольное положительное постоянное; Величины углов в П. и. совпадают с величинами углов в геометрии Лобачевского. П. и. предложена А. Пуанкаре (Н. Poincare, 1882). Лит.:[1] Клейн Ф., Элементарная математика с точки зрения высшей, пер. с нем., т. 2, М.-Л., 1934; [2] Каган В. Ф., Лобачевский и его геометрия, М., 1955; [3] Гильберт Д., Кон-Фоссен С., Наглядная геометрия, пер. с нем., 3 изд., М.- Л., 1981; [4] Пуанкаре А., Избранные труды, [пер. с франц.], М., 1974; [5] Неванлинна Р., Униформивация, пер. с нем., М., 1955; [6] Sansone G., GerretsenJ., Lectures on the theory of functions of a complex variable, [v.] 2, Geometric theory, Groningen, 1969. А. Б. Иванов.